Définition du logarithme népérien

Définition du logarithme népérien 

 

Définition

 

La fonction logarithme népérien est l’unique fonction $f$, définie et dérivable sur $]0; +infty[$ qui vérifie $begin{array}{l} f(1) = 0 \ f'(x) = dfrac{1}{x} end{array}$

On remarquera ici que l’on définit la fonction $f$ à partir de sa dérivée.

En outre, on peut noter que l’on ne connaissait jusqu’à présent pas de fonction dont la dérivée valait $dfrac{1}{x}$. 

En supposant que le cours portant sur les intégrales a déjà été étudié, on peut alors définir la fonction logarithme népérien, que l’on note $ln$ comme étant la primitive de $x mapsto dfrac{1}{x}$ sur $]0; +infty[$ et qui s’annule en $1$. 

Ainsi, pour tout réel $x > 0$, 
$ln x = displaystyle int_1^x dfrac{1}{t} dt$

On notera que lorsque $x = 1$, $ln 1 = displaystyle int_1^1 dfrac{1}{t} dt = 0$. 

Graphiquement, la fonction $ln x$ correspond à l’aire sous la courbe de la fonction inverse, comprise entre les droites verticales d’abscisse $1$ et $x$.

 

Propriétés analytiques

 

Propriétés analytiques

 

La fonction $ln $ est définie et dérivable sur $]0;+infty[$.

Pour tout réel $displaystyle x>0, (ln x)’= dfrac{1}{x}$.

La fonction $ln $ est continue et strictement croissante sur $]0;+infty[$.

D’autre part,

$ln (1)=0$ 

$ln (e)=1$

$displaystylelimlimits_{x rightarrow +infty} ln x= +infty$

$displaystyle lim_{substack{x to 0\ x > 0}} ln x=-infty$

 

Variations et représentation graphique

 -31_1

 

-32_1

Propriétés algébriques

La fonction logarithme népérien

 

Définition

 

La fonction logarithme népérien est la fonction (f) définie et dérivable sur (]0;+infty[) tel que

(f(1)=0) et (f'(x)=dfrac{1}{x})

(ln) est la primitive de (xmapstodfrac{1}{x}) sur (]0;+infty[) qui s’annule en 1.

 

Propriétés algébriques

Pour tous réels $x>0$ et $y>0$ :

$ln (xy)= ln x+ln y$

$displaystyle ln ( displaystylefrac{1}{x}) = -ln x$

$displaystyle ln ( displaystylefrac{x}{y}) = ln x-ln y$

$displaystyle ln ( x^n) = n ln x$ avec n $epsilon$ $mathbb{Z}$

Exemple :

Réduire : $A=ln8-3ln16$  et  $B$= $displaystyle frac{4ln9+5ln27}{ln3}$.

étape 1: On réécrit l’expression $A$ pour faire apparaître $ln 2$.

$A=ln 2^3-3ln 2^4$

étape 2 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l’expression :

$displaystyle ln (x^n)=nln x$ avec $displaystyle n in mathbb{Z}$.

$A=3ln 2-12ln 2$

$A=-9ln 2$

étape 3: On réécrit l’expression $B$ pour faire apparaître $ln 3$.

$B$= $displaystyle frac{4ln 3^2+5ln 3^3}{ln 3}$

étape 4 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l’expression :

$displaystyle ln (x^n)=nln x$ avec $displaystyle n in mathbb{Z}$.

$B$= $displaystyle frac{8ln 3+15ln 3}{ln 3}$

On factorise par $ln 3$ pour finir le calcul.

$B$= $displaystyle frac{23ln 3}{ln 3}$

$B$= 23

 

Autre exemple :

Simplifier : $C$= $displaystyle ln (x+3)+ln 2-2ln (x+1)$ en précisant l’intervalle d’étude.

étape 1 : On précise l’ensemble de définition de l’expression.

$x$ doit vérifier $x+3>0$ et $x+1>0$, c’est-à-dire :

$x>-3$ et $x>-1$.

La condition finale est donc: $x>-1$.

étape 2 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l’expression :

  • $ ln (xy)=ln x+ln y$,
  • $ln (displaystylefrac{x}{y})=ln x-ln y$
  • $ln (x^n)=nln x$ avec $n in mathbb{Z}$

Ainsi,

$C$= $displaystyle ln (2x+6)-ln (x+1)^2$

$C$= $displaystyle ln {frac{2x+6}{(x+1)^2}}$