Fonctions dérivées

Fonctions dérivées

Définition

 

$f$ est une fonction dérivable en tout point $x$ d’un intervalle $I$ inclus dans son domaine de définition.

La fonction qui à tout réel $x$ de $I$ associe $f'(x)$, le nombre dérivé de $f$ en $x$, est la fonction dérivée de $f$ sur $I$. On la note $f ‘$.

Tableau des dérivées usuelles

 

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Opérations sur les dérivées

 

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ dont les dérivées sont notées $u’$ et $v’$.

Soit $lambda \in mathbb{R}$.

On a alors les résultats suivants :

 

$bullet$ Dérivée d’une somme :

$(u+v)’=u’+v’$.

 

$bullet$ Dérivée multipliée par un nombre :

$(lambda u)’ = \lambda u’$.

 

$bullet$ Dérivée d’un produit :

$(ucdot v)’ = u’cdot v +ucdot v’$.

 

$bullet$ Dérivée d’un quotient :

${bigg(dfrac{u}{v}bigg)}^{‘} = dfrac{u’cdot v -ucdot v’}{v^2}$. (la fonction $v$ \ne s’annulant pas sur $I$)

 

$bullet$ Dérivée d’une composée :

$(vcirc u)’= u’ \cdot (v’circ u)$.

Fonctions dérivées - Exercice 1

Dérivons les fonctions suivantes :

(f(x) = dfrac{4}{3}x^5 – dfrac{5}{2}x^2 + 1 \text{ avec \} D_f = mathbb{R})

(g(x) = 5 \sqrt{x} \text{ avec \} D_g = mathbb{R^+})

(h(x) = ln(x) + e^x \text{ avec \} D_h = ]0 ; +infty[).

Fonctions dérivées - Exercice 2

Dérivons les fonctions suivantes :

(f(x) = dfrac{3x^2 – 1}{x + 3} \text{ avec \} D_f = mathbb{R}-left{-3right})

(g(x) = e^x (x^2 + x + 1) \text{ avec \} D_g = mathbb{R})