Exponentielle - Croissances comparées

 

Croissances comparées

Pour $n$ appartenant à $mathbb{N}$ :

1. $displaystyle lim limits_{x rightarrow +infty} frac{e^x}{x} = +infty$ ;             $displaystyle lim limits_{x rightarrow +infty} frac{e^x}{x^n}=+infty$

2. $displaystyle lim limits_{x rightarrow -infty} xe^x =0$ ;                $displaystyle lim limits_{x rightarrow -infty} x^ne^x =0$

 

A savoir aussi :

3. $ displaystylelim_{xto 0} frac {e^x-1}{x}=1$

 

Exercice 1

Calculer : $displaystyle lim limits_{x rightarrow +infty} x^3 -e^x$.

 

Corrigé 

  • étape 1 : On s’interroge sur la présence de formes indéterminées.
    Il y en a une de la forme $infty-infty$.
  • étape 2 : On factorise par $e^x$ le numérateur et le dénominateur.
    $displaystyle lim limits_{x rightarrow +infty} e^x(frac{x^3}{e^x}-1)$
  • étape 3 : On utilise le théorème des croissances comparées.

    On sait que $displaystyle lim limits_{x rightarrow +infty} frac{e^x}{x^3} = +infty$.

    Donc $displaystyle lim limits_{x rightarrow +infty} frac{x^3}{e^x} =displaystyle lim limits_{x rightarrow +infty} frac{1}{frac{e^x}{x^3}}= 0$.

Le terme entre parenthèses tend donc vers $-1$.

  • étape 4 : Par produit de limites, on conclut donc :
    $displaystyle lim limits_{x rightarrow +infty} x^3 -e^x= -infty$

Exercice 2

Calculer : $displaystyle lim limits_{x rightarrow +infty} frac{e^x-x}{2e^x+3}$.

 

Corrigé

  • étape 1 : On s’interroge sur la présence de formes indéterminées.

Il y en a au moins une au numérateur (de la forme $infty-infty$).

  • étape 2 : On factorise par $e^x$ le numérateur et le dénominateur.

    $displaystylelim limits_{x rightarrow +infty} frac{e^x-x}{2e^x+3}=displaystyle lim limits_{x rightarrow +infty} frac{e^x(1-frac{x}{e^x})}{e^x(2+frac{3}{e^x})} = displaystyle lim limits_{x rightarrow +infty} frac{1-frac{x}{e^x}}{2+frac{3}{e^x}}$

  • étape 3 : On utilise le théorème des croissances comparées.

$displaystyle lim limits_{x rightarrow +infty} frac{x}{e^x} = 0$  et $displaystyle lim limits_{x rightarrow +infty} frac{3}{e^x}=0 $

  • étape 4 : le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur tend vers $2$. On conclut donc :

$displaystyle lim limits_{x rightarrow +infty} frac{e^x-x}{2e^x+3}= frac{1}{2}$

Fonctions composées - exp(u(x))

Fonctions composées

Soit $u(x)$ une fonction continue et dérivable sur $mathbb{R}$, la fonction $f(x)=e^{u(x)}$ a pour dérivée

$f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$.

Exemple

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $mathbb{R}$ par :

$g(x)=e^{(-3x^2+x)}$.

Déterminons sa dérivée.

On pose : $u(x)= -3x^2+x$.

On a donc : $u'(x)=-6x+1$.

On a : $g'(x)= u'(x)e^{u(x)}$.

Soit : $g'(x)=(-6x+1)e^{(-3x^2+x)}$.

 

Autre exemple

Etudier les variations de la fonction $f(x)$= $displaystyle frac{3e^x}{e^{2x}+1}$.

 

étape 1 : On cherche toujours l’ensemble de définition d’une fonction.

$Df= mathbb{R} $ car $e^{2x}$ ne peut être égal à $-1$, c’est toujours positif.

 

étape 2 : On cherche les limites aux bornes de l’ensemble de définition : en $+infty$ et en $-infty$.

On factorise par $e^x$ et on simplifie pour lever l’indétermination.

$displaystyle lim limits_{x rightarrow +infty}f(x)=lim limits_{x rightarrow +infty}frac{e^xtimes 3}{e^{x}(e^{x}+displaystylefrac{1}{e^{x}})}=lim limits_{x rightarrow +infty}frac{3}{e^{x}+displaystylefrac{1}{e^{x}}}=0$ car

$displaystyle lim limits_{x rightarrow +infty}e^x+frac{1}{e^x}=+infty$

$displaystyle lim limits_{x rightarrow -infty}f(x)=lim limits_{x rightarrow -infty}frac{3}{e^{x}+displaystylefrac{1}{e^{x}}}=0$ car

$displaystyle lim limits_{x rightarrow -infty}e^x+frac{1}{e^x}=+infty$

 

étape 3 : On dérive $f$ comme quotient de fonctions dérivables sur $mathbb{R}$.

On utilise la formule suivante :

$displaystyle (frac{u}{v})’=frac{u’v-uv’}{v^2}$.

$displaystyle u(x)=3e^x, u'(x)=3e^x hspace{0.2cm} text{et} hspace{0.2cm} v(x)=e^{2x}+1, v'(x)= 2e^{2x}$

$displaystyle f'(x)= frac{3e^x (e^{2x}+1)-3e^x (2e^{2x})}{(e^{2x}+1)^2}$

$displaystyle f'(x)= frac{3e^x (1-e^{2x})}{(e^{2x}+1)^2}$

On remarque que $(1-e^{2x})$ est une égalité remarquable égale à $(1-e^x)(1+e^x)$.

Le signe de $f'(x)$ est du signe de $(1-e^x)(1+e^x)$ donc de $(1-e^x)$.

On a : 

$(1-e^x)geq 0 iff 1geq e^x iff  0geq x$

On en déduit le tableau de variations : 

--29 

--30

 

Fonctions composées - exp(u(x)) - Exercice

Exercice

 

Étudions la fonction (f(x) = largefrac{3e^x}{e^{2x} + 1}).

Étape 1 : On cherche toujours l’ensemble de définition d’une fonction.

Étape 2 : On cherche les limites aux bornes de l’intervalle : en (+infty) et en (-infty).

Étape 3 : On factorise pour lever l’indétermination.

Étape 4 : On utilise ici que (displaystylelim_{x to -infty} e^x = 0).

Étape 5 : On utilise la formule ((frac{u}{v})’ =large frac{u’v – uv’}{v^2}) pour étudier les variations.