Dérivée seconde et position d'une courbe par rapport à ses tangentes

Dérivée seconde et position d’une courbe par rapport à ses tangentes

 

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ et $x_0 \in I$.

Soit $Gamma_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère $(O; overrightarrow{i}; overrightarrow{j})$ et $M_O(x_0, f(x_0))$.

On note $Delta$ la tangente à $Gamma_F$ en $M_0$ (cette tangente existe car $f$ est dérivable en $x_0$).

Soit $x \in I$ et $M(x, f(x))$,

Soit $T$ le point de $Delta$ tel que $T(x, y_T)$,

On étudie ici la position de la courbe par rapport à sa tangente en un point d’abscisse $x_0$ quelconque. Pour cela, on étudie l’ordonnée du vecteur $overrightarrow{TM}$ (l’abscisse du vecteur étant nulle) à partir d’un point $M$ quelconque : 

$y_overrightarrow{TM} = y_M – y_T = f(x) – y_T$. 

Or $T$ est un point de la tangente $Delta$ dont on connait l’équation :

$y = f(x_0) + (x – x_0)f'(x_0)$. 

Ainsi, $y_T = f(x_0) + (x – x_0)f'(x_0)$. 

Finalement, $y_overrightarrow{TM} =  f(x) – f(x_0) – (x – x_0)f'(x_0)$. 

On note alors $delta(x) =  f(x) – f(x_0) – (x – x_0)f'(x_0)$ et on étudie le signe de cette fonction. Pour cela, on étudie ses variations. La fonction $delta$ est dérivable sur $I$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $I$ :

$delta'(x) = f'(x) – f'(x_0)$. 

Pour étudier le signe de $delta'(x)$, on fait tout d’abord l’hypothèse que $f” \geq 0$ sur $I$, c’est à dire que $f’$ est croissante sur $I$. 

Ainsi, pour $x \geq x_0, , f'(x) \geq f'(x_0)$ c’est à dire $delta'(x) \geq 0$. 

De même, pour $x \leq x_0, , f'(x) \leq f'(x_0)$ c’est à dire $delta'(x) \leq 0$. 

On en déduit alors le sens de variation de la fonction $delta$. 

$delta$ est décroissante pour $x \leq x_0$ et croissante pour $x \geq x_0$. 

En outre, $delta(x_0) = f(x_0) – f(x_0) – (x_0 – x_0)f'(x_0) = 0$.

Finalement, $delta \geq 0$ ce qui signifie que l’ordonnée de $overrightarrow{TM}$ est positive et donc que $M$ est au dessus de $T$. 

Puisque ce raisonnement peut être fait pour tout $x_0 \in I$, on en déduit que lorsque $f” \geq 0$, la courbe est toute entière située au dessus de toutes ses tangentes. On dit que $f$ est convexe.

 

De même, on peut s’intéresser à l’hypothèse de $f” \leq 0$ sur $I$, c’est à dire que $f’$ est décroissante sur $I$.

Ainsi, pour $x \geq x_0, , f'(x) \leq f'(x_0)$ c’est à dire $delta'(x) \leq 0$.

De même, pour $x \leq x_0, , f'(x) \geq f'(x_0)$ c’est à dire $delta'(x) \geq 0$.

On en déduit alors le sens de variation de la fonction $delta$. 

Ainsi, $delta \leq 0$ et $M$ est sous $T$.

Puisque ce raisonnement peut être fait pour tout $x_0 \in I$, on en déduit que lorsque $f” \leq 0$, la courbe est toute entière située en dessous de toutes ses tangentes. On dit que $f$ est concave. 

 

Le dernier cas que l’on peut traiter correspond au cas où $f”$ n’est pas de signe constant sur $I$ et s’annule en $x_0$ en changeant de signe. On se propose ici de traiter le cas où $f”$ est d’abord négative puis positive. 

Ainsi, $f'(x) \geq f'(x_0)$ pour tout $x \in I$. Donc $delta’ \geq 0$. Ainsi $delta$ est croissante sur $I$.

Or $delta$ s’annule en $x_0$. Donc pour $x \leq x_0$, $delta$ est négative. Et pour $x \geq x_0$, $delta$ est positive. 

Graphiquement, pour $x \leq x_0$ la courbe de $f$ est en dessous de ses tangentes.

Pour $x \geq x_0$, la courbe de $f$ est au-dessus de ses tangentes. 

Ainsi, si $f”$ s’annule en changeant de signe en $x_0$, $Gamma_f$ traverse sa tangente en $M_0$.

On dit que $x_0$ est un point d’inflexion de $f$. 

Dérivée seconde d'une fonction

Dérivée seconde d’une fonction

 

Définition

 

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $mathbb{R}$.

Si $f’$ est dérivable sur $I$, on note $(f’)’ =f”$ sa dérivée que l’on appelle dérivée seconde de $f$ sur $I$.

 

Exemples :

  • Soit $f : x \mapsto 3x^2 + 5x + 7$ une fonction polynomiale, définie et dérivable sur $mathbb{R}$.

Soit $x \in mathbb{R}$,  $f'(x) = 6x + 5$

$f’$ est aussi une fonction polynomiale, elle est donc dérivable sur $mathbb{R}$.

Soit $x \in mathbb{R}$,  $f”(x) = 6$

 

  • Soit $g: x \mapsto cos(5x + 3)$ une fonction définie sur $mathbb{R}$ et dérivable sur $mathbb{R}$ en tant que composée de deux fonctions dérivables sur cet intervalle.

Soit $x \in mathbb{R}$,  $g'(x) = -5sin(5x + 3)$.

$g’$ est aussi dérivable en tant que composée de deux fonctions dérivables sur $mathbb{R}$.

Ainsi, soit $x \in mathbb{R}$,  $g”(x) = -25cos(5x + 3)$.

 

Propriétés

 

Soit $lambda \in mathbb{R}$,

Si $u$ et $v$ sont dérivables deux fois sur $I$,

Alors $(lambda u + v)$ et $(uv)$ sont deux fois dérivables sur $I$.

Les formules de la dérivée seconde du produit et de la somme \ne sont pas à connaitre.