Déterminer un seuil : ln(qn)=nlnqln(qn)=nlnqln(q^n)=n lnq

Utiliser la relation $lnq^n = nlnq$

Utiliser la relation $ln q^n = n ln q$

 

On propose ici de montrer un exemple d’application de la relation $ln q^n = n ln q$ pour tout réel $q > 0$ et pour tout entier naturel $n$.

 

Rappels

 

Pour $0 < a < 1$, $ln a < 0$

Pour $a > 1$, $ln a > 0$

 

Exemple : 

Déterminer les entiers naturels $n$ tels que :

$1 – (0.4)^n geq 0.99$.

La première étape consiste à isoler la puissance de $n$ : il ne faut pas appliquer précipitamment la fonction logarithme.

Soit $n in mathbb{N}$,

$1 – (0.4)^n geq 0.99$

$iff -(0.4)^n geq -0.01$

$iff 0.4^n leq 0.01$ car on multiplie par $-1 < 0$

$iff ln(0.4^n) leq ln(0.01)$ car $xmapsto ln x$ est strictement croissante sur $]0; +infty[$, donc le sens de l’inégalité demeure inchangé.

$iff n ln 0.4 leq ln 0.01$ (On applique ici la relation)

$iff n geq dfrac{ln 0.01}{ln 0.4}$ car $ln 0.4 < 0$ puisque $0.4 < 1$

Or $dfrac{ln 0.01}{ln 0.4} approx 5,026$. En outre, $n$ est un entier naturel donc on cherche le premier entier plus grand que $5,026$ c’est à dire $6$.

Ainsi, $1 – (0.4)^n geq 0.99 iff n geq 6$