Divisibilité et division euclidienne

Divisibilité et division euclidienne

Divisibilité et division euclidienne

 

Divisibilité dans $\mathbb{Z}$

 

Définition

Soient $a$ et $b$, deux entiers relatifs, avec $b$ non nul.

On dit que $b$ divise $a$ si et seulement si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=kb$.

On note $b|a$.

 

Propriétés

Pour $a$ non nul, $a|a$.

Pour $a$, $b$ et $c$ non nuls, si $a|b$ et $b|c$ alors $a|c$.

 

Exemple

Montrer que $N=a(a^2-1)$ est divisible par 6 lorsque $a \in \mathbb{N}$.

 

étape 1 : $N$ est divisible par 6 si et seulement si il est divisible par 2 et par 3.

étape 2 : On réécrit $N$ grâce à une identité remarquable pour faire apparaître un produit de trois nombres consécutifs.

$N=a(a^2-1)$

$N=a(a-1)(a+1)$

$N=(a-1)a(a+1)$

étape 3 : Si $a$ est pair, on remplace $a$ par $2k$ ($k \in \mathbb{N}$).

$N=(2k-1)2k(2k+1)$

étape 4 : $N$ s’écrit sous la forme d’un produit d’un entier et de 2, donc $N$ est pair.

étape 5 : Si $a$ est impair, on remplace $a$ par $2k+1$.

$N=(2k+1)2k(2k+2)$

On arrive à la mÍme conclusion et $N$ est donc divisible par 2 dans tous les cas ($a$ pair ou impair).

étape 6 : Si $a$ est multiple de 3, alors $a=3k$. On remplace $a$ par $3k$.

$N=(3k-1)3k(3k+1)$ On en conclut que $N$ est multiple de 3.

étape 7 : On répËte la mÍme opération avec $a=3k+1$ puis avec $a=3k+2$.

Dans ces deux cas, on verra apparaître un multiple de 3. On en conclut que $N$ est divisible par 3.

$N$ est divisible par 2 et 3 donc $N$ est divisble par 6.

 

Division euclidienne dans $\mathbb{Z}$

 

Définition

Soient $a$ et $b$, deux entiers naturels et $b$ non nul.

Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ revient à déterminer l’unique couple $(q;r)$ d’entiers naturels tels que :

$a=bq+r$ avec $0\leqslant r<b$.

On nomme $q$ le quotient et $r$ le reste.

Exemple

Déterminer le quotient $q$ et le reste $r$ de la division euclidienne de 753 par 82.

 

On a : $753=82\times 9+15$.

On obtient donc : $q=9$ et $r=15$. On vérifie que 15 est strictement inférieur à 82

 

Divisibilité et division euclidienne - Exercice

Exercice

 

Montrons que \(N = a(a^2 – 1)\) est divisible par 6 lorsque \(a \in \mathbb{N}\).

 

Étape 1 : \(N\) est divisible par 6 si et seulement si il est divisible par 2 et par 3.

Étape 2 : On réécrit \(N\) grâce à l’identité remarquable pour faire apparaître 3 nombres successifs.

Étape 3 : Si \(a\) est pair, on remplace \(a\) par \(2k.\)

Étape 4 : \(N\) s’écrit sous la forme d’un produit multiplié par 2, donc \(N\) est pair.

Étape 5 : Si \(a\) est impair, on remplace \(a\) par \(2k + 1\) et on arrive à la même conclusion.

Étape 6 : Si \(a\) est multiple de 3, alors \(a = 3k.\)

Étape 7 : On remplace \(a\) par \(3k\) et on en conclut que \(N\) est multiple de 3.

Étape 8 : On répète l’opération avec \(a = 3k + 1.\)