Équation cartésienne d’un plan

Équation cartésienne d'un plan

Equation cartésienne d’un plan

 

Définition

 

Soient $a,b,c$ et $d$ quatre réels avec $a,b$ et $c$ tous nuls.

$mathcal{P} :ax+by+cz+d=0$ est l’équation cartésienne d’un plan de l’espace.

 

Propriété

 

Tout plan $mathcal{P}$ d’équation $ax+by+cz+d=0$ admet un vecteur normal non nul $overrightarrow{n}(a;b;c)$.

La réciproque est vraie.

equation-cartesienne-plan

 

Exemples

1) Déterminer l’équation cartésienne du plan $mathcal{P}$ passant par $A(4;0;-1)$ et normal à $overrightarrow{n}(2;-1;3)$.

2) Soit $mathcal{P}: 2x-4y+6z-9=0$.

Déterminer un vecteur $overrightarrow{n}$ normal à $mathcal{P}$ et un point $A$ du plan

 

Correction

  • 1) Etape 1 : On définit l’équation cartésienne du plan à partir des coordonnées du vecteur $overrightarrow{n}$.

On a: $mathcal{P} : 2x-y+3z+d=0$.

  • Etape 2 : On sait que $A \in \mathcal{P} $, on remplace $x, y$ et $z$ par les coordonnées du point $A$ appartenant au plan.

$2(4)-0+3(-1)+d=0$

  • Etape 3 : On en déduit la valeur de $d$ et ainsi l’équation cartésienne du plan $mathcal{P}$.

$d=-5$

On conclut que: $mathcal{P} :2x-y+3z-5=0$.

 

  • 2) Etape 1 : On définit un vecteur $overrightarrow{n}$ normal à $mathcal{P}$ à partir des coefficients de $x,y$ et $z$ de l’équation cartésienne.

$overrightarrow{n}(2;-4;6)$ ou encore $overrightarrow{n’}(1;-2;3)$ sont deux vecteurs normaux.

  • Etape 2 : On fixe deux des trois inconnues afin de calculer les coordonnées pour que le point $A$ appartienne au plan.

On pose : $x=1$ et $y=2$ , avec $A \in \mathcal{P} $, on remplace : $2-8+6z-9=0$. $z=dfrac{15}{6}=dfrac{5}{2}$

On a alors : $Aleft(1;2;dfrac{5}{2}right)$

Équation cartésienne d'un plan - Exercice 1

Déterminons l’équation cartésienne du plan (P) passant par (A (4, 0, -1)) et normal à (overrightarrow{n} (2, -1, 3)).

  • Etape 1 : On définit l’équation cartésienne du plan à partir des coordonnées du vecteur (overrightarrow{n}).
  • Etape 2 : On remplace (x, y \text{ et \} z) par les coordonnées du point (A) appartenant au plan.
  • Etape 3 : On en déduit la valeur de (d) et ainsi l’équation cartésienne du plan (P).

Équation cartésienne d'un plan - Exercice 2

Soit (P : 2X – 4y + 6z -9 = 0).

Déterminons un vecteur (overrightarrow{n}) normal à (P) et un point (A) du plan.

  • Étape 1 : On définit un vecteur (overrightarrow{n}) normal à (P) à partir des coefficients de (x, y \text{ et \} z) de l’équation cartésienne.
  • Étape 2 : On fixe deux des trois inconnues afin de calculer les coordonnées pour que le point (A) appartienne au plan.

Équation cartésienne d'un plan - Exercice 3A

Déterminons l’intersection des plans (P : x – 2y + z – 1 = 0) et (Q : 2x – 3y – z + 4 = 0).

  • Étape 1 : On définit des vecteurs (overrightarrow{n}) et (overrightarrow{n’}) normaux à (P) et (Q) à partir des coefficients (x, y, z) de chaque équation cartésienne.
  • Étape 2 : On vérifie s’il y a proportionnalité entre les deux vecteurs.

Équation cartésienne d'un plan - Exercice 3B

Déterminons l’intersection des plans (P : x – 2y + z – 1 = 0) et (Q : 2x – 3y – z + 4 = 0).

  • Étape 1 : On pose le système de 2 équations à 3 inconnues.
  • Étape 2 : On additionne la ligne 1 et la ligne 2.
  • Étape 3 : On décide d’utiliser (y) comme paramètre.
  • Étape 4 : On exprime (x) puis (z) en fonction de ce paramètre.
  • Étape 5 : On reconnaît les coordonnées du vecteur directeur de la droite recherchée à partir des coefficients associées au paramètre (t).

Equation cartésienne d'un plan (démonstration)