Équations différentielles y’ = f(x)

Équations différentielles, y'=f(x). Non unicité des primitives, démonstration.

Équations différentielles $y’ = f(x)$. Non unicité des primitives

 

Propriété

 

Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.

En d’autres termes, si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur un intervalle $I$ quelconque, alors

$F = G + C$ où $C$ est une constante, ou encore $F – G = C$. 

 

Démonstration

On pose $H(x) = F(x) – G(x)$ pour $x \in I$

On veut démontrer que $H$ est une constante.

L’idée de la démonstration consiste à dériver $H$ car on connait la dérivée de $F$ et $G$ : $F’ = G’ = f$ par définition d’une primitive.

Soit $x \in I$,

$H'(x) = F'(x) – G'(x) = f(x) – f(x) = 0$

Or la primitive d’une fonction nulle sur un intervalle est une constate.

Il existe donc $C \in mathbb{R}$ tel que $H(x) = C$.

On vient donc de montrer que $F(x) – G(x) = C$ où $C$ est une constante réelle. 

 

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $mathbb{R}$ par $f(x) = 2x$

Ainsi $F(x) = x^2$ est une primitive de $f$.

En outre, $G(x) = x^2 + 3$ est aussi une primitive de $f$.

De même, $H(x) = x^2 – 5$ en est une aussi.

Finalement, toutes les fonctions de la forme $T(x) = x^2 + C$ où $C$ est une constante réelle sont une primitive de $f(x) = 2x$.

On retiendra alors que la dérivée d’une fonction est unique mais que si une fonction admet une primitive sur un intervalle, alors il en existe une infinité.

On dira donc qu’une primitive est définie à une constante près. 

Équations différentielles de la forme y'=f(x) et notions de primitives

Equations différentielles de la forme $y’=f(x)$ et notion de primitive

 

Définition :

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.

Il s’agit d’une équation qui fait intervenir une fonction ainsi que sa dérivée ou ses dérivées successives (par exemple la dérivée de la dérivée que l’on appelle dérivée seconde, …). 

On note cette fonction inconnue $y$, en référence au fait que l’on cherche ici une fonction, qui correspond graphiquement à l’ordonnée du point.

 

Exemples :

 

1) On veut résoudre l’équation différentielle $y’ = 2x$ pour tout $x \in mathbb{R}$.

En d’autres termes, on cherche à déterminer toutes les fonctions $g$ dont la dérivée vaut $2x$ c’est à dire les fonctions telles que $g'(x) = 2x$.

Or, on sait qu’une fonction qui a pour dérivée $2x$ est $x^2$. Une solution est donc $g_1(x) = x^2$.

Mais, on peut aussi remarquer que $g_2(x) = x^2 + 3$ est aussi solution de l’équation différentielle $y’ = 2x$ car la dérivée d’une constante est nulle.

Ainsi, toute fonction de la forme $g(x) = x^2 + C$ où $C$ est une constante réelle, est solution de l’équation différentielle $y’ = 2x$.

Les solutions d’une équation différentielle \ne sont donc pas uniques.

 

2) On souhaite résoudre l’équation différentielle $y’ = 4$.

On cherche donc à déterminer une fonction qui a pour dérivée $4$, comme par exemple $g_1(x) = 4x$ ou encore $g_2(x) = 4x – 2$.

 

Définition : primitive

 

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $mathbb{R}$.

$g$ est solution de l’équation différentielle $y’ = f$ si et seulement si $g$ est dérivable sur $I$ et si pour tout $x \in I, ; g'(x) = f(x)$.

Cette solution $g$ est alors appelée primitive de la fonction $f$ et on la notera communément $F$.

 

La dérivée d’une fonction est unique mais la primitive n’est pas unique.

Chaque primitive d’une même fonction diffère d’une constante : une primitive d’une fonction n’est donc pas unique. (On pourra se référer plus précisément au cours traitant cette propriété)

 

Exemple :

Soient $begin{array}{ccccl} f & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \ &&x & \mapsto & 5x -1 end{array}$ et $begin{array}{ccccl} F & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \ &&x & \mapsto & dfrac{5x^2}{2} -x + 2 end{array}$ deux fontions.

On veut montrer que $F$ est une primitive de $f$.

Tout d’abord $F$ est dérivable sur $mathbb{R}$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $mathbb{R}$

Soit $x \in mathbb{R}$, $F'(x) = 2 \times \dfrac{5x}{2} – 1 + 0 = 5x – 1 = f(x)$

Ainsi, $F$ est une primitive de $f$.