Équations, inéquations et logarithme népérien

Résolutions d’équations et inéquations avec la fonction $ln$

Liens avec la fonction exponentielle :

Pour tout réel $x$, $ln (e^x)=x$.

Pour tout réel $x>0$, $e^{ln x}=x$.

 

Equations 

Pour tous réels $x>0$ et $y>0$,

$displaystyle ln x=ln y iff x=y$.

Pour tout réel $x>0$ et tout réel $a$,

$displaystyle ln x=aiff x=e^a$.

 

Inéquations

Pour tous réels $x>0$ et $y>0$,

$displaystyle ln x<ln y iff x < y$.

Pour tout réel $x>0$ et tout réel $a$,

$displaystyle ln x<aiff x<e^a$.

 

Exemple

Résoudre $displaystyle 3ln (x+1)-3=0$ en précisant l’ensemble d’étude.

 

étape 1 :

On n’oublie pas de préciser l’ensemble de définition sur lequel on travaille.

$x$ doit vérifier : $x+1>0$ soit : $x>-1$.

On cherche donc des solutions sur $]-1;+infty[$.

 

étape 2 :

On se ramène à une écriture du type : $ln x=ln y$ en utilisant $ln e=1$.

$displaystyle 3ln (x+1)=3$

$displaystyle ln (x+1)=1$

$displaystyle ln (x+1)= ln e$

 

étape 3 :

On sait que $displaystyle ln x=ln y iff x=y$  Ainsi :

$displaystyle x+1= e$

$displaystyle x= e-1$

 

étape 4 :

On conclut en donnant l’ensemble des solutions.

$mathcal{S} = { e-1}$ 

 

Autre exemple

Résoudre  sur $]-1;+infty[$ :

$displaystyle ln (x+3)-2ln (x+1) leqslant 0 $

 

étape 1 :

On sait que $displaystyle ln x leqslant ln y iff x leqslant y$ donc on réécrit l’expression pour faire apparaître l’inéquation entre deux logarithmes.

$displaystyle ln (x+3) leqslant 2ln (x+1)$ soit

$displaystyle ln (x+3) leqslant ln (x+1)^2$

 

étape 2 :

On applique les propriétés du logarithme sur les inéquations.

$displaystyle ln (x+3) leqslant ln (x+1)^2 iff (x+3) leqslant (x+1)^2$

$displaystyle x+3 leqslant x^2 + 2x +1$

$displaystyle x^2 + x -2 geqslant 0$

 

étape 3 :

On remarque que $1$ est une solution évidente du trinôme où on calcule son discriminant et on trouve que $1$ et $-2$ sont les racines de $x^2 + x -2.$

 

étape 4 :

Pour déterminer le signe du trinôme, on utilise un tableau de signes uniquement sur l’ensemble de définition.

La racine $x=-2$ n’apparait donc pas :

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étape 5 :

On fait attention à l’ensemble de définition de départ avant de conclure.

$mathcal{S} = [1; +infty[$

Équations, inéquations et logarithme népérien - Exercice 1

Exercice

 

Résoudre (3 ln(x + 1) – 3 = 0).

 

Étape 1 : On n’oublie pas de préciser l’ensemble de définition sur lequel on travaille.

Étape 2 : On sait d’après le cours que (ln (e) = 1).

Étape 3 : On sait que $ln(a)=ln(b)Leftrightarrow a=b$ avec $a$ et $b$ strictement positifs

Étape 4 : On conclut en donnant l’ensemble des solutions.

Équations, inéquations et logarithme népérien - Exercice 2

Exercice

 

Résoudre sur ( ]-1 ; +infty[) :

(ln(x + 3) – 2ln(x + 1) leq 0)

Étape 1 : On sait que (lnx leq lny Leftrightarrow x leq y).

Étape 2 : On réécrit l’expression pour faire apparaître l’inéquation entre deux logarithmes.

Étape 3 : On applique les propriétés du logarithme sur les inéquations.

Étape 4 : On remarque que (1) est une solution évidente de l’inéquation.

Étape 5 : On en déduit les 2 solutions de l’inéquation.

Étape 6 : Pour déterminer le signe du trinôme, on travaille sur un tableau de signe.

Étape 7 : On fait attention à l’ensemble de définition de départ avant de conclure.