Fonctions cosinus et sinus, équations trigonométriques

Étude de la fonction cosinus

Etude de la fonction cosinus

 

Domaine de définition et dérivée

 

La fonction cosinus est définie sur $mathbb{R}$.

Elle est, en outre, $2pi$-périodique (ce qui signifie que pour tout $xinmathbb{R}, cos(x+2pi)=cos(x)$)

et paire (pour tout $xinmathbb{R}, cos(-x)=cos(x)$) ce qui permet de restreindre son étude à $[0,pi]$.

Son domaine de dérivabilité est $mathbb{R}$ et pour tout $xinmathbb{R}, cos'(x)=-sin(x)$.

 

Variations sur $[0,pi]$

 

Pour étudier les variations de la fonction cosinus, on étudie le signe de sa dérivée c’est-à-dire le signe de $-sin(x)$ sur $[0,pi]$.

 variations_cosinus

 

Représentation graphique

 

Courbe représentative de la fonction cosinus obtenue avec les propriétés de parité et de périodicité de la fonction:

 cosinus-graphique

 

Propriétés algébriques et autres formules

 

Pour tout $xinmathbb{R}$, $cos^2(x)+sin^2(x)=1$.

Pour tout $xinmathbb{R}$, $cos(2x)=2cos^2(x)-1$.

Pour tous $a,b$ réels, $cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$.

Formule d’Euler : $cos(theta)= dfrac{e^{itheta}+e^{-itheta}}{2}$, où $e^{itheta}$ est le nombre complexe de module 1 et
d’argument $theta$ : $e^{itheta}=cos ({theta}) +isin({theta})$.

$cos(-x) =cos(x)$

$cos(x+pi)= -cos(x)$

$cos(frac{pi}{2}-x)= sin(x)$

Étude de la fonction sinus

Etude de la fonction sinus

 

Domaine de définition et dérivée

 

La fonction sinus est définie sur $mathbb{R}$.

Elle est impaire (pour tout $xinmathbb{R}, sin(-x)=-sin(x)$) et $2pi$-périodique (pour tout $xinmathbb{R}, sin(x+2pi)=sin(x)$) ce qui permet de restreindre son étude à $[0,pi]$.

Son domaine de dérivabilité est $mathbb{R}$ et pour tout $xinmathbb{R}, sin'(x)=cos(x)$.

 

Variations sur $[0,pi]$

 

Pour étudier les variations de la fonction sinus, on étudie le signe de sa dérivée c’est-à-dire le signe de $cos(x)$ sur $[0,pi]$.

variations_sinus

Représentation graphique

 

Courbe représentative de la fonction sinus obtenue avec les propriétés de parité et de périodicité de la fonction :

sinus-graphique

 

Propriétés algébriques et autres formules

 

Pour tout $xinmathbb{R}$, $cos^2(x)+sin^2(x)=1$.

Pour tout $xinmathbb{R}$, $sin(2x)=2cos(x)sin(x)$ 

Pour tous $a,b$ réels, $sin(a+b)=cos(a)sin(b)+cos(b)sin(a)$.

Formule d’Euler : $sin(theta)= dfrac{e^{itheta}-e^{-itheta}}{2i}$.

$sin(-x)=-sin(x)$

$sin(x+pi)= -sin(x)$

$sin(frac{pi}{2}-x)= cos(x)$

Équations trigonométriques

Equations trigonométriques

 

Egalité de cosinus ou de sinus

 

Conditions d’égalité de deux cosinus :

$ cos(x)=cos(a) \Leftrightarrow x=a+2kpi \text{ ou \} x=-a+2kpi \text{ avec \} kin mathbb{Z}$

 

 egalite-cosinus

 

 

Conditions d’égalité de deux sinus :

$sin(x)=sin(a) \Leftrightarrow x=a+2kpi \text{ ou \} x=(pi-a)+2kpi \text{ avec \} kinmathbb{Z}$

 

 egalite-sinus

 

Exemple

Résoudre dans $mathbb{R}$ l’équation $sin(3x)=dfrac{sqrt2}{2}$

On a $dfrac{sqrt2}{2}=sinleft( dfrac{pi}{4}right)$ d’après le cours, donc :

$sin(3x)=dfrac{sqrt2}{2} \Leftrightarrow 3x=dfrac{pi}{4}+2kpi$     ou    $3x=left(pi-dfrac{pi}{4}right)+2kpi = dfrac{3pi}{4}+2kpi $

C’est à dire :

$x=dfrac{pi}{12}+dfrac{2kpi}{3}$   ou   $x=dfrac{pi}{4}+dfrac{2kpi}{3}$ avec $kinmathbb{Z}$

Équations trigonométriques - Exercice

Résoudre dans ( mathbb{R}) les équations suivantes :

1) (cos x = -frac{sqrt{3}}{2})

2) (sin 3x = frac{sqrt{2}}{2})

Cosinus et sinus d'un nombre réel

Cosinus et sinus d’un nombre réel

 

Définition

 

Soit $xinmathbb{R}$.

En plaçant le point $x$ sur le cercle trigonométrique, le cosinus de $x$ est l’abscisse de ce point et le sinus de $x$ est son ordonnée.

cosinus-sinus1

 

Valeurs remarquables à connaître

 

valeurs_sinus_cosinus

cosinus-sinus2