Formules d'additions

Trigonométrie : Formules d’additions

 

Dans ce qui suit, $a$ et $b$ sont deux réels. 

 

$left \{ \begin{array}{l} cos(a + b) = cos(a) cos(b) – sin(a) sin(b) \ cos(a – b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) \ \end{array} right.$

Les formules précédentes peuvent être démontrées à partir du produit scalaire

 

$left \{ \begin{array}{l} sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) \ sin(a – b) = sin(a) cos(b) – cos(a) sin(b) \ \end{array} right.$

 

Pour s’en souvenir, il existe un moyen mnémotechnique : le sinus est sympa : il se mélange avec le cosinus et le signe plus dans le sinus se retrouve entre les deux termes. 

 

En remplaçant $b$ par $a$ dans la première formule on obtient  :

$cos(2a) = cos^2(a) – sin^2(a)$.

Or $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$ pour tout réel $x$. 

Ainsi $cos(2a) = 2cos^2(a) – 1 = 1 – 2sin^2(a)$.

En remplaçant $b$ par $a$ dans le deuxième groupement de formules on obtient  :

$sin(2a) = 2sin(a)cos(a)$.

 

Exemple : Trouvons la valeur exacte de $cosleft (dfrac{5pi}{12} \right )$.

Il s’agit donc de se ramener en utilisant les formules précédentes à des valeurs connues des sinus et des cosinus. 

$cosleft (dfrac{5pi}{12} \right ) = cosleft ( dfrac{2pi}{12} + dfrac{3pi}{12} \right ) $

$iffcosleft (dfrac{5pi}{12} \right )=cosleft ( dfrac{pi}{6} + dfrac{pi}{4} \right ) $

$iffcosleft (dfrac{5pi}{12} \right )=cosleft ( dfrac{pi}{6}right)  cosleft (dfrac{pi}{4} \right ) – sinleft ( dfrac{pi}{6}right) sinleft (dfrac{pi}{4} \right ) $

$iffcosleft (dfrac{5pi}{12} \right )= dfrac{sqrt{3}}{2}times dfrac{sqrt{2}}{2} – dfrac{1}{2}times dfrac{sqrt{2}}{2}$

$iffcosleft (dfrac{5pi}{12} \right )=dfrac{sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} $.