Formules d'Euler, application

Formules d'Euler

Formules d’Euler 

 

Propriétés :

Soit $theta in mathbb{R}$,

  • $cos(theta) = dfrac{e^{itheta}+e^{-itheta}}{2}$
  • $sin(theta) = dfrac{e^{itheta}-e^{-itheta}}{2i}$

 

Démonstration :

On admet la propriété suivante :

Soit $theta in mathbb{R}$, $e^{itheta} = cos(theta) + i sin(theta)$.

On peut alors écrire que

$e^{-itheta} = overline{e^{itheta}} = cos(theta) – i sin(theta)$.

Ainsi, en additionnant les deux égalités on obtient :

$e^{itheta} + e^{-itheta} = 2 cos(theta)$.

De même, en soustrayant la deuxième à la première on aboutit à :

$e^{itheta} – e^{-itheta} = 2i sin(theta)$.

On remarquera la présence du $i$ dans la formule du sinus au dénominateur.

 

Application

 

On se propose de résoudre un exercice d’application, difficile, faisant appel à une technique que l’on pourra réinvestir dans de futurs exercices.

Soit $n in mathbb{N}$,

Calculons $mathcal{S}_n = displaystyle sum_{k=0}^n cos(ktheta) = 1 + cos(theta) + cos(2theta) + …  + cos(ntheta)$.

L’idée, qui devrait être donnée, consiste à utiliser une nouvelle somme $mathcal{T}_n = displaystyle sum_{k=0}^n sin(ktheta)$ et à l’ajouter à la somme initiale pour forme la somme :

$mathcal{S}_n + i mathcal{T}_n = displaystyle sum_{k=0}^n cos(ktheta) + i sin(ktheta) = displaystyle sum_{k=0}^n e^{iktheta} = displaystyle sum_{k=0}^n {left (e^{itheta} right)}^k$, qui est la somme d’une suite géométrique de raison $e^{itheta}$. 

Pour appliquer la formule qui donne le résultat d’une série géométrique, il faut vérifier que la raison est différente de 1. 

Ainsi, on cherche $theta$ tel que $e^{itheta} = 1$ ce qui revient à écrire que

$theta = 0 + 2Kpi$ avec $K in mathbb{Z}$.

Dans ce cas, on a alors

$mathcal{S}_n = displaystyle sum_{k=0}^n cos(ktimes2Kpi) = displaystyle sum_{k=0}^n 1 = n + 1$.

Supposons à présent $theta neq 0 + 2Kpi$,

$mathcal{S}_n + i mathcal{T}_n  = dfrac{1-e^{itheta(n + 1)}}{1-e^{itheta}}$.

On retrouve ici le fait que $e^{itheta} neq 1$.

Il s’agit alors de remarquer que

$mathcal{S}_n = mathcal{Re} left (displaystyle sum_{k=0}^n {left (e^{itheta} right)}^k right )$.

Pour calculer la partie réelle de cette somme, on utilise la technique de l’argument moitié, qu’il faut retenir, qui consiste à mettre en facteur une exponentielle d’argument moitié.

Ainsi, 

$displaystyle sum_{k=0}^n {left (e^{itheta} right)}^k  = dfrac{e^{itheta(n + 1)}-1}{e^{itheta}-1} = dfrac{e^{i(n + 1)frac{theta}{2}}}{e^{ifrac{theta}{2}}} times dfrac{e^{i(n + 1)frac{theta}{2}}-e^{-i(n + 1)frac{theta}{2}}}{e^{ifrac{theta}{2}}-e^{-ifrac{theta}{2}}}$.

En effet, on pourra remarquer que :

$e^{ifrac{theta}{2}}times e^{-ifrac{theta}{2}} = e^{ifrac{theta}{2}-ifrac{theta}{2}}=e^0=1$. 

On remarque alors que l’on peut appliquer les formules d’Euler.

En effet $e^{ifrac{theta}{2}}-e^{-ifrac{theta}{2}} =  2i sin left ( dfrac{theta}{2} right )$.

De même, $e^{i(n+1)frac{theta}{2}}-e^{-i(n+1)frac{theta}{2}} =  2i sin left ((n+1) dfrac{theta}{2} right )$.

Ainsi,

$displaystyle sum_{k=0}^n {left (e^{itheta} right)}^k  = dfrac{e^{i(n + 1)frac{theta}{2}}}{e^{ifrac{theta}{2}}} times dfrac{2i sin left ((n+1) dfrac{theta}{2} right )}{2i sin left ( dfrac{theta}{2} right )} = e^{infrac{theta}{2}}times dfrac{sin left ((n+1) dfrac{theta}{2} right )}{sin left ( dfrac{theta}{2} right )} $.

Finalement, on doit encore effectuer le calcul suivant :

$mathcal{S}_n = mathcal{Re} left (e^{infrac{theta}{2}}times dfrac{sin left ((n+1) dfrac{theta}{2} right )}{sin left ( dfrac{theta}{2} right )} right)$.

Or, le facteur $dfrac{sin left ((n+1) dfrac{theta}{2} right )}{sin left ( dfrac{theta}{2} right )}$ est un nombre réel.

On doit donc calculer la partie réelle de $e^{infrac{theta}{2}}$.

Or $e^{infrac{theta}{2}} = cos left (ndfrac{theta}{2} right ) + isin left (ndfrac{theta}{2} right ) $.

On peut donner sa partie réelle :

$mathcal{Re} left (e^{infrac{theta}{2}} right ) = cos left (ndfrac{theta}{2} right ) $.

Finalement,

$mathcal{S}_n = dfrac{ cos left (ndfrac{theta}{2} right )  sin left ((n+1) dfrac{theta}{2} right )}{sin left ( dfrac{theta}{2} right )}$

On peut démontrer que la limite de $dfrac{ cos left (ndfrac{theta}{2} right )  sin left ((n+1) dfrac{theta}{2} right )}{sin left ( dfrac{theta}{2} right )}$ quand $theta$ tend vers 0 vaut $n + 1$.

On peut le comprendre en remarquant que $mathcal{S}_n$ est une fonction continue de $theta$.

Ainsi, il n’est pas surprenant que sa valeur calculée en $0$ vaille sa limite en 0.