Homothéties

 

Homothéties

 

Définition

 

Les homothéties sont des transformations du plan qui génèrent des agrandissements ou des réductions.

Une homothétie est définie par un centre $O$ et un rapport $k$. 

Sur la figure suivante, les points $O;A$ et $A’$ vériofient : $OA’=ktimes OA$

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Exemple :

On considère un triangle $ABC$ représenté en noir et un point $O$.

Afin d’obtenir le triangle $A_2B_2C_2$ qui est le triangle obtenu par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$ du triangle $ABC$, il faut donc se servir de la relation : ${OA}_2 = 2 OA$

Cette homothétie génère donc un agrandissement, toutes les longueurs sont multipliées par 2. 

 

Afin d’obtenir le triangle $A_1B_1C_1$ qui est le triangle obtenu par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 0,5$ du triangle $ABC$, il faut donc se servir de la relation : ${OA}_1 = 0,5 OA$

Cette homothétie génère donc une réduction, toutes les longueurs sont multipliées par 0,5. 

 

A l’issue des deux homothéties, on obtient la figure suivante :

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Propriétés 

 

Une homothétie conserve les mesures d’angles.

Les longueurs sont multipliées par $k$.

Les aires sont multipliées par $k^2$.

Lorsque le rapport $k$ est négatif, la figure s’inverse. (non visible sur la figure)