Indépendance

Evénements indépendants 

Définition

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque : 

$p(Acap B)=p(A)times p(B)$

 

Ou encore de façon équivalente lorsque :

$mathrm{p}_B(A)=p(A)$     ou    $mathrm{p}_A(B)= p(B)$

Indépendance et évènement contraire

Indépendance et évènement contraire 

 

Théorème :

 

Soient $A$ et $B$ deux évènement indépendants de $Omega$,

Alors $overline{A}$ est indépendant de $B$. 

(De même, $overline{A}$ est indépendant de $overline{B}$ et $A$ est indépendant de $overline{B}$) 

La démonstration est à connaitre.

 

Démonstration :

Soient $A$ et $B$ deux évènement indépendants de $Omega$,

$A$ et $overline{A}$ forment une partition de $Omega$.

En effet, $A \cup \overline{A} = Omega$ et $A$ et $overline{A}$ sont disjoints (ils n’ont pas de partie commune).

Ainsi, $B = (B \cap A) \cup (B \cap overline{A})$ d’après la formule des probabilités totales.

En outre, $(B \cap A)$ et $(B \cap overline{A})$ sont incompatibles (l’intersection des deux évènement est nulle).

Donc $p(B) = P(B \cap A) + P(B \cap overline{A})$.

Ainsi, $p(B \cap overline{A}) =P(B) – P(B \cap A) $.

Or $A$ et $B$ sont deux évènement indépendants de $Omega$, c’est à dire $ P(B \cap A) = P(B) \times P(A)$.

Ainsi, $P(B \cap overline{A}) =P(B) – P(B \cap A) = P(B) – P(B) \times P(A) = P(B)(1-P(A))$.

Or par définition, $(1-P(A)) = P(overline{A})$.

Ainsi, $P(B \cap overline{A}) = P(B)times P(overline{A})$