La loi binomiale

 

Loi binomiale

Les conditions de la loi binomiale :

On considère une expérience aléatoire qui \ne comporte que deux résultats :

  • Le succès $S$ et
  • l’échec $overline{S}$ son événement contraire.

On pose :

$p=p(S)$

et $q=p(overline{S}) =1-p(S)$ 

On répète $n$ fois l’expérience, les répétitions sont indépendantes.

Soit $X$ le nombre de succès au cours des $n$ répétitions.

On dit alors que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

On note cette loi $mathcal{B}(n,p)$.

 

Exemple d’arbre pour $n=2$

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La probabilité d’obtenir $k$ succès au cours des $n$ répétitions est donnée par la formule :

$p(X=k)= displaystylebinom{n}{k} p^k \times (1-p)^{n-k}$

Exemple

a) On lance 10 fois un dé bien équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois le chiffre 1 au cours des 10 lancers 

b) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois le chiffre 1 au cours des 10 lancers ?

 

a) D’après la calculatrice, on a :

$p(X=4)approx 0,054$

b) Pour s’éviter de longs calculs, on va utiliser l’événement contraire :

$p(Xgeqslant1)=1-p(overline{Xgeqslant1})$.

On peut voir ici que : 

$p(overline{Xgeqslant1})=p(X=0)$.

En effet, le contraire d’obtenir au moins une fois le chiffre 1 est de \ne pas l’obtenir du tout.

On applique la formule du cours pour calculer $p(X=0)$ car $X$ suit la loi binomiale $mathcal{B}left(10, dfrac{1}{6}right)$.

On termine le calcul pour trouver $p(Xgeqslant1)$. 

$p(Xgeqslant1) \approx 0,838$ 

 

Espérance d’une variable aléatoire qui suit une loi binomiale

Si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, alors :

$E(X)=n \times p$.

 

Exemple

Si $X$ suit la loi binomiale $mathcal{B}left(10, dfrac{1}{6}right)$, alors son espérance vaut :

$E(X)=10 \times dfrac{1}{6}$

$E(X)=dfrac{5}{3}$

La loi binomiale - Exercice 1

On lance 10 fois un dé bien équilibré.

Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois le chiffre 1 au cours des 10 lancers ?

  • Étape 1 : On remarque que l’expérience “Lancer le dé” possède deux issues : le succès “obtenir le chiffre 1” et l’échec “ne pas obtenir 1”.
  • Étape 2 : La probabilité du succès est égale à (p(S) = \p = frac{1}{6}).
  • Étape 3 : Il faut bien préciser que l’on répète 10 fois cette expérience de manière indépendante.
  • Étape 4 : On définit (X) comme le nombre de fois où on obtient 1 au cours des 10 répétitions. On cherche donc ici (P(X = 4)).
  • Étape 5 : On applique la formule du cours : (P(X = k) = (_{k}^n) \times p^k \times (1 – p)^{n – k}).

La loi binomiale - Exercice 2

On lance 10 fois un dé bien équilibré.

Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois le chiffre 1 au cours des 10 lancers ?

  • Étape 1 : On redéfinit les conditions de l’expérience pour appliquer la loi binomiale (2 issues, répétitions indépendantes, etc.).
  • Étape 2 : On cherche ici (P(X \geq 1)).
  • Étape 3 : Pour s’éviter de longs calculs, on va utiliser l’événement contraire (p(X \geq 1) = 1 – p(overline{X \geq 1})).
  • Étape 4 : On peut voir ici que (p(overline{X \geq 1}) = p(X = 0)).
  • Étape 5 : On applique la formule du cours pour calculer (P(X = 0)) car (X) suit la loi (beta(10 ; frac{1}{6})).
  • Étape 6 : On termine le calcul pour trouver (p(X \geq 1)).

Espérance de la loi binomiale

A savoir par coeur :

Si (X) suit une loi binomiale de paramètres (n) et (p), alors :

(E(X) = n \times p).