Probabilités conditionnelles

Probabilité de l'événement contraire

Probabilité de l’événement contraire

 

Définition et propriété

L’événement contraire de $A$ est l’événement constitué de toutes les issues qui \ne sont pas dans $A$.

Il se note $overline{A}$. 

On a: $ \boxed{ p(overline{A}) = 1-p(A)}$

 

Exemple

Une enquête est effectuée auprès de 300 jeunes, deux ans après l’obtention de leur baccalauréat : 70 sont au chômage.

On choisit un jeune au hasard.

On note $C$ =”le jeune choisi est au chômage”.

Calculer la probabilité que le jeune choisi \ne soit pas au chômage.

 

  • étape 1 : On reconnaît dans l’énoncé l’expression clé qui nous indique l’événement contraire, ici la négation.

$overline{C}$ = ” le jeune choisi n’est pas au chômage “

  • étape 2 : On applique la formule du cours sur la probabilité de l’événement contraire :

$p(overline{C}) = 1-p(C)$

$p(overline{C}) = 1- dfrac{70}{300}$

  • étape 3 : Attention à bien simplifier les résultats sous forme fractionnaire ou avec une valeur approchée.

$p(overline{C}) = 1- dfrac{7}{30}$

$p(overline{C}) = dfrac{23}{30}$

$p(overline{C}) \approx 0,77$

Probabilité de l'événement contraire - Exercice

Une enquête est effectuée auprès de 300 jeunes, deux ans après l’obtention de leur baccalauréat : 70 sont au chômage.

On choisit un jeune au hasard. On note (C) = “le jeune choisi est au chômage”.

Calculer la probabilité que le jeune choisi \ne soit pas au chômage.

  • Étape 1 : On reconnaît dans l’énoncé l’expression clé qui nous indique l’événement contraire, ici la négation.
  • Étape 2 : On applique la formule du cours sur la probabilité de l’événement contraire : (P(bar A) = 1 – P(A)).
  • Étape 3 : Attention à bien simplifier vos résultats sous forme fractionnaire ou avec une valeur approchée

Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles

 

Si deux événements sont dépendants plutôt qu’indépendants, comment calculer la probabilité que les deux se réalisent, puisque la probabilité de réalisation de l’un dépend de la réalisation de l’autre ?

Il nous faut connaître pour cela le degré de dépendance des deux événements qui est indiqué par la notion de probabilité conditionnelle.

 

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements, $B$ étant supposé de probabilité non nulle.

On appelle probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$, la probabilité de réalisation de l’événement $A$ sachant que $B$ est déjà réalisé.

On la note :$P_B(A) = dfrac{p(Acap B)}{p(B)}$

$P_B(A)$ se lit “probabilité de $A$ si $B$” ou “probabilité  de $A$ sachant $B$” .

On représente souvent l’arbre suivant :

--46

 

Exemple

Une entreprise fabrique des boulons destinés à l’industrie. On admet que 3% des boulons présentent un défaut et sont inutilisables. On contrôle les boulons fabriqués.
Ce contrôle refuse 95% des boulons avec défaut et accepte 92% des boulons sans défaut.
On choisit un boulon au hasard.
On note:

$D $ = “le boulon a un défaut”  

$A$ = “le boulon est accepté”

Que valent $P_D(overline{A})$  et $P_{overline{D}}(A)$ ?

 

On interprète chaque pourcentage présent dans l’énoncé sous forme de probabilité.

On traduit les probabilités conditionnelles présentes dans l’énoncé avec la notation appropriée.

$P_{D}(overline{A})=0,95$

$P_{overline{D}}(A)=0,92$.

 

Application des probabilités conditionnelles au calcul de $p(Acap B)$

Pour tous événements $A$ et $B$ quelconques, on a :

$p(Acap B) = p(B) \times mathrm{p}_B(A)$ 

$p(Acap B) = p(A) \times mathrm{p}_A(B)$

 

Probabilités conditionnelles - Exercice 1

Une entreprise fabrique des boulons destinés à l’industrie. On admet que 3% des boulons présentent un défaut et sont inutilisables. On contrôle les boulons fabriqués.

Ce contrôle refuse 95% des boulons avec défaut et accepte 92% des boulons sans défaut.

On choisit un boulon au hasard.

On note D = “le boulon a un défaut” et A = “le boulon est accepté”.

  • Étape 1 : On interpètre chaque pourcentage présent dans l’énoncé sous forme de probabilité.
  • Étape 2 : On traduit les probabilités conditionnelles présentes dans l’énoncé avec la notation appropriée.

Probabilités conditionnelles - Exercice 2A

Une maladie atteint 5% d’une population. Un test de détection est mis en place mais il n’est pas fiable :

– 93% des individus malades ont un test positif.

– 98% des individus sains ont un test négatif.

  • Étape 1 : Si ce n’est pas fait dans l’énoncé, on pose les événements sur lesquels on va travailler.
  • Étape 2 : On traduit les probabilités conditionnelles présentes dans l’énoncé avec la notation appropriée.

Probabilités conditionnelles - Exercice 2B

Une maladie atteint 5% d’une population. Un test de détection est mis en place mais il n’est pas fiable :

– 93% des individus malades ont un test positif.

– 98% des individus sains ont un test négatif.

Construire l’arbre pondéré.

  • Étape 1 : Traduire l’énoncé avec un arbre de probabilités vous aide à bien visualiser chaque situation.
  • Étape 2 : On reporte chaque probabilité conditionnelle sur les branches de l’arbre.
  • Étape 3 : On applique la formule du cours pour calculer la probabilité d’une intersection à partir d’une probabilité conditionnelle.