Limites de suites

Limites de suites

 

Définitions :

 

On dit que $(u_n)$ admet pour limite $l$ si pour $n$ suffisamment grand, les termes de la suite $(u_n)$ se rapprochent aussi proche que désiré du nombre réel $l$.

Sur le schéma, on remarque qu’au bout d’un certain rang $n$, les termes se rapprochent de $l$.

cv_suite

On dit alors que $(u_n)$ converge vers $l$ et on note $lim limits_{n to +infty} u_n = l$.

Si $(u_n)$ n’admet pas de limite finie ou aucune limite, alors $(u_n)$ est dite divergente.

 

Exemples :

$lim limits_{n to +infty} n^2 = +infty$. La suite $u_n = n^2$ est divergente.

$lim limits_{n to +infty} sqrt{n} = +infty$. La suite $u_n = sqrt{n} $ est divergente.

$lim limits_{n to +infty} dfrac{1}{n} = 0$. La suite $u_n = dfrac{1}{n}$ est convergente.

$lim limits_{n to +infty} 3 + dfrac{1}{n} = 3$. La suite $u_n = 3+ dfrac{1}{n}$ est convergente.

La suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = (-1)^n$ prend successivement les valeurs $-1$ et $1$ selon que $n$ soit impaire ou paire.

Les valeurs de la suite ne peuvent donc pas se rapprocher dans un petit intervalle autour d’un nombre réel.

Ainsi la suite $u_n = (-1)^n$ n’admet pas de limite : c’est une suite divergente. 
 

Opérations sur les limites

Opération sur les limites 

 

Introduction

 

On commence par appliquer les règles d’opérations sur les limites à l’aide d’exemples. 

$lim limits_{n to +infty} dfrac{3}{-2 + sqrt{n}}$.

$ left. begin{array}{l} lim limits_{n to +infty}  sqrt{n} = +infty  \ lim limits_{n to +infty} -2  = -2 end{array} right } lim limits_{n to +infty} – 2 +  sqrt{n} = +infty$ par somme de limites

$lim limits_{n to +infty} 3  = 3$

Donc $lim limits_{n to +infty} dfrac{3}{-2 + sqrt{n}} = 0$ par quotient de limites

$lim limits_{n to +infty} -n^3 + 2$.

$ left. begin{array}{l} lim limits_{n to +infty} n^3 = +infty  \ lim limits_{n to +infty} -1  = -1 end{array} right } lim limits_{n to +infty} – n^3= -infty$ par produit de limites

$lim limits_{n to +infty} 2 = 2$

Donc $lim limits_{n to +infty} -n^3 + 2 = -infty $ par somme de limites.

$lim limits_{n to +infty} 2 + dfrac{1}{n}$.

$ left. begin{array}{l} lim limits_{n to +infty} 2= 2  \ lim limits_{n to +infty} dfrac{1}{n}= 0 end{array} right } lim limits_{n to +infty} 2 + dfrac{1}{n} =2 + 0 = 2$ par somme de limites

Dans certains cas, il n’est pas possible d’appliquer les théorèmes d’opérations sur les limites, comme par exemple pour une forme indéterminée. Il existe cependant d’autres théorèmes pour pouvoir calculer ces limites. 

 

Théorème de comparaison 

 

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites,

Si à partir d’un certain rang $u_n leq v_n$ et $lim limits_{nto +infty} u_n = +infty$ alors $lim limits_{n to + infty} v_n = +infty$.

De même, si à partir d’un certain rang $u_n leq v_n$ et $lim limits_{nto +infty} v_n = -infty$ alors $lim limits_{n to + infty}  u_n = -infty$.

 

Exemple :

Montrons que $n^2 -2n + 2 geq (n – 1)^2$ et en déduire la limite de $u_n = n^2 – 2n + 2$.

Soit $n in mathbb{N}$,

$n^2 -2n + 2 geq (n – 1)^2$

$iff n^2 – 2n + 2 geq n^2 -2n + 1$

$iff 2 geq 1$

On vient donc de montrer le résultat en raisonnant par équivalence. 

Or $lim limits_{n to +infty} (n – 1)^2 = + infty$, d’après le théorème de comparaison, $lim limits_{n to + infty} u_n = +infty$

 

Théorème des gendarmes 

Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites,

Si à partir d’un certain rang $u_n leq v_n leq w_n$ et $lim limits_{n to +infty} u_n = lim limits_{n to +infty} w_n = l$, alors $lim limits_{n to +infty} v_n = l$.

Il s’agit donc d’un théorème d’encadrement. 

 

Exemple :

Soit $a_n = 2 + dfrac{(-1)^n}{n}$,

On ne peut ici pas appliquer directement les opérations sur les limites car $(-1)^n$ n’en admet pas.

On peut cependant remarquer que $(-1)^n$ oscille entre $-1$ et $1$.

Soit $n in mathbb{N}$,

$-1 leq (-1)^n leq 1$

$- dfrac{1}{n} leq dfrac{(-1)^n}{n} leq dfrac{1}{n}$

$2 – dfrac{1}{n} leq 2 + dfrac{(-1)^n}{n} leq 2 + dfrac{1}{n}$

$2 – dfrac{1}{n} leq a_n leq 2 + dfrac{1}{n}$

Or $lim limits_{n to + infty} 2 – dfrac{1}{n} = 2 + dfrac{1}{n} = 2$.

D’après le théorème des gendarmes, $lim limits_{n to + infty} a_n = 2$