L’incontournable du chapitre

Coordonnées de vecteurs

Coordonnées de vecteurs

 

Définition

 

On se place dans le repère $(O, overrightarrow{i}, overrightarrow{j})$ où $overrightarrow{i}$ et $overrightarrow{j}$ sont des vecteurs unitaires c’est à dire ayant une norme égale à 1.

Le vecteur $overrightarrow{i}$ donne l’unité sur l’axe des abscisses alors que le vecteur $overrightarrow{j}$ donne l’unité sur l’axe des ordonnées.

 

ec58f9af4ab1c2090da5256ea50f605a8657a2b6.png

 

On cherche les coordonnées du vecteur $overrightarrow{AB}$.

Pour cela, il s’agit de se demander par quelle translation on passe de $A$ vers $B$.

On exprime donc le déplacement de $A$ vers $B$ en utilisant uniquement les vecteurs unitaires du repère.

Ainsi, se déplace t-on 4 fois selon la direction du vecteur $overrightarrow{i}$ et une fois dans celle du vecteur $overrightarrow{j}$. 

En se déplaçant dans le sens inverse d’un vecteur unitaire, un signe négatif apparait devant le coefficient.

On peut donc écrire :

$overrightarrow{AB} = 4 overrightarrow{i} + 1 overrightarrow{j}$. 

Ainsi, les coordonnées de $overrightarrow{AB}$ sont $overrightarrow{AB} \left ( \begin{array}{c} 4 \ 1 \end{array} \right )$ ou encore $overrightarrow{AB} (4; 1)$. 

 

Regardons de même le vecteur $overrightarrow{OC}$.

Le quadrilatère $ABCO$ formant un parallélogramme, les vecteurs $overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{OC}$ sont donc égaux.

On se propose de le vérifier à l’aide des coordonnées. En regardant le chemin pour aller de $O$ à $C$, on peut écrire que

$overrightarrow{OC} =  4 overrightarrow{i} + 1 overrightarrow{j}$

Ainsi on peut conclure que $overrightarrow{AB} = overrightarrow{OC}$ : deux vecteurs peuvent être égaux même si ils \ne sont pas dessinés au même endroit. 

 

Propriétés : 

 

Soient $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ deux points,

Alors $overrightarrow{AB}left ( \begin{array}{c} x_B – x_A \ y_B – y_A \end{array} \right )$.

On pretera une importance à bien respecter l’ordre dans les soustractions. 

 

Dans notre exemple, on a $A(-1; 1)$ et $B(3; 2)$, ainsi $overrightarrow{AB}left ( \begin{array}{c} 3 – (-1) \ 2 – 1 end{array} \right )$ c’est à dire $overrightarrow{AB}left ( \begin{array}{c}4 \ 1 end{array} \right )$, on retrouve donc le résultat précédent. 

 

Soient $overrightarrow{u}left ( \begin{array}{c} x \ y end{array} \right )$ et $overrightarrow{v}left ( \begin{array}{c} x’ \ y’ \end{array} \right )$ deux vecteurs,

alors $overrightarrow{u} + overrightarrow{v} = left ( \begin{array}{c} x + x’ \ y + y’ \end{array} \right )$
et pour $lambda \in mathbb{R}, lambda overrightarrow{u} =  left ( \begin{array}{c} \lambda x \ \lambda y \end{array} \right )$

Translations et vecteurs

Translations et vecteurs

 

Définition 

 

La translation qui transforme $A$ en $B$ est l’unique transformation qui transforme un point $C$ en un point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme ou bien tel que $[AD]$ et $[BC]$ ont même milieu. 

La translation peut également être vue comme un glissement de $A$ vers $B$ : ce glissement s’effectue selon une certaine direction, avec un certain sens et selon une certaine longueur. 

On passe donc de $A$ vers $B$ par la translation de vecteur $overrightarrow{AB}$ et de $C$ vers $D$ par la même translation. 

Cette translation est notée $t_{overrightarrow{AB}}$. 

 

Le fait de passer du point $A$ au point $B$ par la translation de vecteur $overrightarrow{AB}$ revient à écrire que l’image de $A$ par la translation de vecteur $overrightarrow{AB}$ est $B$ : $t_{overrightarrow{AB}}(A) = B$.

De même, le point $C$ est transformé en point $D$ par la translation de vecteur $overrightarrow{AB}$ ce qui s’écrit $t_{overrightarrow{AB}}(C) = D$.

fb50a71d13b35d9f2f27f48664d778b49fbf13cc.png

Vecteurs égaux

 

Supposons que $overrightarrow{MN} = overrightarrow{AI}$.

Cela signifie que l’on passe du point $M$ au point $N$ par le même vecteur qui permet de passer de $A$ à $I$. 

On a alors l’équivalence suivante $overrightarrow{MN} = overrightarrow{AI} \iff MAIN $ est un parallélogramme. 

Comme $MAIN$ est un parallélogramme, on peut aussi écrire que $overrightarrow{AM} = overrightarrow{IN}$.

Enfin, il est courant de renommer un vecteur par une lettre, par exemple on pourra écrire $overrightarrow{MN} = overrightarrow{u}$. 

a8e55a16fa28b566eaaa3065fa0712be3c67bcb0.png

Vecteurs colinéaires

Vecteurs colinéaires

 

Définition 

 

Soient $overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ deux vecteurs différents de $overrightarrow{0}$,

$overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel non nul $k$ tel que $overrightarrow{u} = k \times overrightarrow{v}$. 

 

Remarque

Deux droites peuvent être parallèles, les vecteurs eux peuvent être colinéaires. 

 

Exemples :

1)

1ec43c566763eba0b7e009dbf8afc5dacca3a00e.png

Dans ce cas, le lien unissant $overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ est : $overrightarrow{u} = – overrightarrow{v}$, c’est à dire $k = -1$, ainsi $overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ sont colinéaires. 

2)

d32ebb912c921ac96c3b7137faa596ea977199b4.png

 

Dans ce second exemple, on remarque que $overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} overrightarrow{w}$ : $k = dfrac{1}{2}$, les deux vecteurs sont donc colinéaires. 

Pour déterminer la colinéarité de deux vecteurs, il est également possible d’utiliser les coordonnées de ces derniers si ils sont donnés ou calculables.

Par exemple, les vecteurs $overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 3 \ \dfrac{7}{2} \end{array} \right ) $ et $overrightarrow{v} \left ( \begin{array}{c} dfrac{-3}{4} \ – \dfrac{7}{8} \end{array} \right ) $ sont-ils colinéaires ?

Pour que ces deux vecteurs soient colinéaires, il faut que leurs coordonnées soient proportionnels entre eux avec le même coefficient de proportionnalité.

On compare donc les rapports suivants  :

$dfrac{frac{-3}{4}}{3}$ et $dfrac{-frac{7}{8}}{frac{7}{2}}$

c’est à dire le rapport de l’abscisse de$overrightarrow{v}$ par celle de $overrightarrow{u}$ puis le rapport de l’ordonnée de $overrightarrow{v}$ par celle de $overrightarrow{u}$.

Si le résultat est identique, les coordonnées sont proportionnelles et les vecteurs sont donc colinéaires. 

Ainsi :

$dfrac{frac{-3}{4}}{3} = dfrac{-3}{4times 3} = – dfrac{1}{4}$.

De même,

$dfrac{-frac{7}{8}}{frac{7}{2}} =- \dfrac{7}{8} \times \dfrac{2}{7} = – dfrac{1}{4}$. 

Le résultat des deux calculs étant identique, on en déduit que $overrightarrow{v} = – dfrac{1}{4} overrightarrow{u}$, les vecteurs sont colinéaires.

On pourra vérifier par exemple que l’abscisse de $overrightarrow{v}$ est égale au produit de $dfrac{-1}{4}$ et de celle de $overrightarrow{u}$.

Vecteurs et alignement

Vecteurs et alignement

 

Méthodes :

 

Il existe plusieurs méthodes pour montrer que des points sont alignés. Par exemple, il est possible d’utiliser les coefficients directeurs de droites. Mais on peut aussi utiliser les vecteurs.

Pour rappel, deux points sont toujours alignés.

 

Méthode utilisant les vecteurs.

On se place dans un repère $(O; overrightarrow{i}; overrightarrow{j})$.

Soient $A(2; 1), B(-1: -5)$ et $C(10; 17)$ trois points du plan,

$A, B$ et $C$ sont-ils alignés ? 

4181d700e36c9efade34a1133eaf1cae6b2fa5b6.png

 

La méthode consiste à former deux vecteurs en utilisant les points dont on cherche à démontrer l’alignement en veillant à ce que ces deux vecteurs aient un point en commun. 

Pour que les points soient alignés, il faudrait donc que les vecteurs $overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{AC}$ par exemple soient colinéaires.

En effet, cela impliquerait que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles, avec un point en commun $A$ : les points $A, B$ et $C$ seraient ainsi alignés. 

 

Calculons donc les coordonnées de ces deux vecteurs :

$overrightarrow{AB} \left ( \begin{array}{c} -1 – 2 \ -5 -1 \end{array} \right )$

c’est à dire $overrightarrow{AB} \left ( \begin{array}{c} -3 \ -6 \end{array} \right )$

$overrightarrow{AC} \left ( \begin{array}{c} 10 – 2 \ 17 -1 \end{array} \right )$

c’est à dire $overrightarrow{AC} \left ( \begin{array}{c} 8 \ 16 \end{array} \right )$

Pour étudier la colinéarité des deux vecteurs, on peut calculer séparément le rapport des abscisses puis le rapport des ordonnées des deux vecteurs. 

Ainsi, $dfrac{8}{-3} = -dfrac{8}{3}$ et $dfrac{16}{-6} = -dfrac{8}{3}$.

Donc $overrightarrow{AC} = -dfrac{8}{3} overrightarrow{AB}$ : ces deux vecteurs sont donc colinéaires. 

On peut aussi remarquer dans ce cas là que l’on peut réécrire le vecteur  $overrightarrow{AB}$ comme $overrightarrow{AB} = -3 overrightarrow{u}$, avec $overrightarrow{u} left ( \begin{array}{c} 1 \ 2 end{array} \right )$.

De même, $overrightarrow{AC} = 8 overrightarrow{u}$.

Ainsi, $overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{u}$ sont colinéaires, de même que $overrightarrow{AC}$ et $overrightarrow{u}$ :

donc,  $overrightarrow{AB}$ et  $overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Dans les deux cas, les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont donc parallèles et possèdent un point commun $A$, les points sont donc alignés. 

Somme de vecteurs, relation de Chasles

Somme de vecteurs, relation de Chasles

 

1) Préliminaires

 

Soient $A, B$ et $C$ trois points du plan,

$overrightarrow{AA} = overrightarrow{0}$, c’est à dire le vecteur nul. Il n’a pas de direction ni de sens et sa norme vaut 0.

Il faudra bien écrire une flèche sur ce vecteur pour le différencier du nombre 0.

$overrightarrow{AB} = -overrightarrow{BA}$, lorsque l’on change de sens d’un vecteur, ce nouveau vecteur est l’opposé du vecteur initial. 

 

2) Représentation graphique 

 

a) Représentons le vecteur $overrightarrow{u} + overrightarrow{v}$. (en noir sur la figure)

On remarque que ses vecteurs sont déjà tracés. Pour effectuer la somme, on souhaite que la flèche du vecteur $overrightarrow{u}$ coïncide avec le début du vecteur $overrightarrow{v}$.

Il faut donc déplacer le vecteur $overrightarrow{v}$. Or on sait que deux vecteurs sont égaux si ils forment un parallélogramme.

On reporte donc le vecteur $overrightarrow{v}$ en gardant le même sens, la même direction et la même norme : bien que ces deux vecteurs \ne soient pas représentés au même endroit, ils sont égaux. 

 

b) On souhaite à présent représenter le vecteur $2overrightarrow{u} – overrightarrow{v}$ ou encore $2overrightarrow{u} + (-overrightarrow{v})$.

On commence donc par tracer le vecteur $2overrightarrow{u}$. Le vecteur $- overrightarrow{v}$ est le vecteur de sens opposé à $ overrightarrow{v}$.

On reporte donc le vecteur $- overrightarrow{v}$ qui a la même norme que le vecteur $ overrightarrow{v}$ représenté mais un sens opposé. On relie enfin le point de départ et le point d’arrivé.

 

a6d1f96c4a693d29a8e4f0ad30ed0121f0c26020.png

 

 

3) Relation de Chasles

 

Enfin, on addition les vecteurs $overrightarrow{AB} $ et $overrightarrow{BC}$.

Graphiquement, on obtient le vecteur $overrightarrow{AC}$ : c’est la relation de Chasles.

$overrightarrow{AB} +overrightarrow{BC}=overrightarrow{AC}$

cce662211532c9d3c0270815c5a383707e39e64f.png