L’incontournable du chapitre

Produit de matrices

Produit de matrices

 

Définition

 

Soit $A$ une matrice $(ntimes p)$.

Soit $B$ une matrice $(ptimes m)$.

Pour pouvoir multiplier deux matrices, il faut que le nombre de colonnes de la première soit égal au nombre de lignes de la seconde.

Exemple

 Soit $A=begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \
0 & -1 & 2\
end{pmatrix} $ une matrice $(2times 3)$ et 

$B=begin{pmatrix}1 & 4 \
2 & 0\
-1 & 3\end{pmatrix} $ une matrice $(3times 2)$ 

On peut calculer le produit $Atimes B$ des matrices de la façon suivante :

$Atimes B=begin{pmatrix}
1 times 1+2 times 2 – 1 times 3 & 1 times 4 +2 times 0 +3 times 3\
1 times 0+ 2times (-1) +2 times (-1) & 4 times 0 +(-1) times 0 +3 times 2\
end{pmatrix} $ 

$Atimes B=begin{pmatrix}2& 13\
-4 & 6\
end{pmatrix} $ 

 

Remarque :

On  peut ici effectuer le produit $Btimes A$ car les dimensions des matrices s’y prêtent.

Ce n’est pas le cas général, il faut toujours vérifier les dimensions des matrices à multiplier.

On dira que le produit des matrices n’est pas commutatif.

Puissance d'une matrice

Puissance d’une matrice carrée

 

Définition : matrice diagonale $D_n$

 

Une matrice est diagonale lorsque les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.

Voici un exemple de matrice diagonale d’ordre 3.

$D_3=begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \
0 & -1 & 0\
0 & 0 & 2\
end{pmatrix} $

Puissance d’une matrice diagonale $D_n$

 

Si on souhaite obtenir par exemple le carré de la matrice $D_3$, on élève au carré chaque coefficient de la diagonale. Ainsi :

 

$D_3^{2}=begin{pmatrix}
3^2 & 0 & 0 \
0 & (-1)^2 & 0\
0 & 0 & 2^2\
end{pmatrix} $    $iff$   $D_3^{2}=begin{pmatrix}
9 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0\
0 & 0 & 4\
end{pmatrix} $

Puissance d’une matrice carrée

 

De façon générale, pour toute matrice carrée $A$ et pour tout entier $ngeqslant {2}$ 

$A^2= A times A$;

$A^3= A^2 times A =A times A^2$

$A^n= A^{n-1}times A=Atimes A^{n-1}$

Exemple

Par multiplications successives, on obtient aisément les puissances d’une matrice carrée d’ordre 2.

$A =begin{pmatrix}
2 & -1 \
3 & 1\
end{pmatrix}$ 

$A^2 =begin{pmatrix}
1 & -3 \
9 & -2\
end{pmatrix}$ 

$A^3 =begin{pmatrix}
-7 & -4 \
12 & -11\
end{pmatrix}$

Matrice inverse

Matrice inverse

 

Définition

 

Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$. On note $ I_n$ la matrice unité d’ordre $n$.

S’il existe une matrice $B$ tel que :

$A times B= B times A= I_n$,

Alors $A$ est inversible et sa matrice inverse est $B=A^{-1}$.

 

Propriété

 

 Soit $A =begin{pmatrix}
a & b \
c & d\
end{pmatrix}$ une matrice carré d’ordre $2$

Si $ad-bc neq 0$ alors $A$ est inversible et sa matrice inverse $A^{-1}$ vaut :

$A^{-1} =  displaystylefrac{1}{ad-bc} begin{pmatrix}
d & -b \
-c & a\
end{pmatrix}$

 

Exemple

Soit $M =begin{pmatrix}
2 & -1 \
3 & 1\
end{pmatrix}$. 

Vérifier que $M$ est inversible et déterminer sa matrice inverse.

Correction

On calcule : 

$ad-bc = 2 times 1 – (-1)times3 =5$

$ad-bc neq 0$   $M$ est donc inversible. 

Déterminons sa matrice inverse $M^{-1}$

On a:

$M^{-1} =  displaystylefrac{1}{5}begin{pmatrix}
1 & 1 \
-3 & 2\
end{pmatrix}$    $iff$    $M^{-1} = begin{pmatrix}
dfrac{1}{5} & dfrac{1}{5} \[0.5cm]
-dfrac{3}{5} & dfrac{2}{5}\
end{pmatrix}$.

On peut aisément vérifier que

$Mtimes M^{-1}=M^{-1}times M = I_{2}$

Matrice et système linéaire

Matrices et systèmes d’équations linéaires

 

Définition

On considère le système d’équations suivant :

$left { begin{array}{rccc}x+y+2z & = &9  \ x-y+z&=&2 \ 2x+y-z & = & 1   \ end{array} right.$ 

Pour le résoudre, on peut utiliser les matrices :

$A =begin{pmatrix}
1 & 1&2 \
1 & -1&1\
2 & 1&-1\
end{pmatrix}$   ;  $X =begin{pmatrix}
x \
y\
z\
end{pmatrix} $   et

  $B =begin{pmatrix}
9\
2\
1\
end{pmatrix}.  $ 

Le système se traduit alors par :  $AX=B$.

 

Propriété

 

Si $AX=B$ et $A$ inversible alors

$X=A^{-1} times B$.

Etape 1 : Au Bac, la matrice inverse $A^{-1}$ est donnée dans l’énoncé.

Etape 2 : On effectue le produit $X=A^{-1} times B$.

Le calcul nous permet de conclure que :

$X =begin{pmatrix}
1 \
2\
3\
end{pmatrix} $.

La solution du système est donc le triplet $(1;2;3)$.

 

Exemple avec un système linéaire d’équations d’ordre 2.

Résoudre le système d’équations suivant :

$left { begin{array}{rccc}2x-y & = &-8   \3x+y& = &-7   \ end{array} right.$ 

On peut le traduire par  $AX=B$ avec : 

$A =begin{pmatrix}
2 & -1 \
3 & 1\
end{pmatrix}$   ;   $X =begin{pmatrix}
x \
y\
end{pmatrix} $    et   

$B =begin{pmatrix}
-8 \
-7\
end{pmatrix}$.

En considérant $A =begin{pmatrix}
2 & -1 \
3 & 1\
end{pmatrix}$, on vérifie que :

$ad-bc =5 neq 0$.

On peut alors calculer :

$A^{-1} =  displaystylefrac{1}{5}begin{pmatrix}
1 & 1 \
-3 & 2\
end{pmatrix}$   

$iff$   $A^{-1} = begin{pmatrix}
dfrac{1}{5} & dfrac{1}{5} \
-dfrac{3}{5} & dfrac{2}{5}\
end{pmatrix}$.

On a donc :

$X=A^{-1}B=begin{pmatrix}
dfrac{1}{5} & dfrac{1}{5} \
-dfrac{3}{5} & dfrac{2}{5}\
end{pmatrix} times begin{pmatrix}
-8 \
-7\
end{pmatrix}= begin{pmatrix}
-dfrac{15}{5} \
dfrac{10}{5}\
end{pmatrix}$.

$X=begin{pmatrix}
-3 \
2\
end{pmatrix}$.

La solution du système est le couple $(-3;2)$