L’incontournable du chapitre

Equations et nombres complexes

Résolution d’équations avec des nombres complexes

 

Equations du premier degré

Il y a deux formes d’équations du premier degré avec solutions complexes :

 $bullet$ $az+b=0$ avec $a$ et $b$ dans $mathbb{C}$, dont la résolution se fait comme pour une équation du premier degré avec des réels.

 $bullet$ $az+bbar z +c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ dans $mathbb{C}$ dont la résolution se fait en remplaçant $z$ par sa forme algébrique : $z=a+ib$.

 

Exemple

Trouver la ou les solutions de l’équation $(E) : z-bar z+i=0$.

 

On pose $z=a+ib$ la forme algébrique de $z$. On remplace cette forme algébrique de $z$ dans l’équation $(E)$ :

$(a+ib)-overline{(a+ib)}+i=0 Leftrightarrow a+ib-(a-ib)+i=0 Leftrightarrow 2ib=-i Leftrightarrow b=-dfrac12$

Ainsi, les solutions de $(E)$ sont tous les nombres complexes s’écrivant :

$z=a-dfrac12 i$, avec $a$ réel. 

 

Equations du second degré

La forme générale d’une équation du second degré est la suivante :

$boxed{az^2+bz+c=0}$ avec $a$, $b$ et $c$ réels.

La résolution de cette équation est semblable à celle d’une équation du second degré avec des réels, c’est-à-dire qu’il s’agit de calculer le discriminant de l’équation :

$Delta=b^2-4ac$

Il y aura tout de même des solutions dans le cas du discriminant négatif :

$bullet$ Si $Delta >0$, les deux solutions réelles sont : $z_1=dfrac{-b+sqrt{Delta}}{2a}$ et $z_2=dfrac{-b-sqrt{Delta}}{2a}$.

$bullet$ Si $Delta=0$, la solution est $z_0=-dfrac{b}{2a}$.

$bullet$ Si $Delta<0$,les deux solutions complexes sont : $z_1=dfrac{-b+isqrt{-Delta}}{2a}$ et $z_2=dfrac{-b-isqrt{-Delta}}{2a}$.

 

Exemple

Trouver les solutions de l’équation : $(F) : z^2+4z+dfrac{25}{4}=0$.

On a $Delta = 16-25=-9 <0$ donc les deux solutions sont :

$z_1=dfrac{-4+3i}{2}$ et $z_2=dfrac{-4-3i}{2}$.

Modules et arguments

Module et argument

 

Module

On considère un nombre complexe $z=a+ib$ et on note $M$ le point du plan complexe d’affixe $z$.

 

On définit le module de $z$ (qu’on note $|z|$) par la distance du point $M$ au point d’origine $O$.

On a alors la formule suivante :

$|z|=OM =sqrt{a^2+b^2}$

 

Argument

On note $overrightarrow{u}$ le vecteur directeur de norme $1$ de l’axe des réels.

On définit alors l’argument d’un nombre complexe $z=a+ib$ (affixe du point $M$ dans le plan complexe) l’angle formé par le vecteur $overrightarrow{u}$ et le vecteur $overrightarrow{OM}$.

 

On écrit alors :

$ operatorname{arg} (z) = (overrightarrow{u}, overrightarrow{OM} ) ~ [2pi]$

En notant $theta = operatorname{arg}(z)~ [2pi]$ alors on a les égalités suivantes :

  • $cos(theta)=dfrac{a}{|z|}$
  • $sin(theta)=dfrac{b}{|z|}$

 

Illustration graphique

 --36

 

L’angle $theta$ est ici un argument de $z$ : $operatorname{arg}(z)=theta ~ [2pi]$.

 

Exemple

Calculer le module et un argument de $z_1=1+i$ et $z_2=4-4i$.

$z_1$ s’Ècrit : $z_1=a_1+ib_1$ avec $a_1=1$ et $b_1=1$ donc

$|z_1|=sqrt{a_1^2+b_1^2}= sqrt2$.

On note $operatorname{arg}(z_1)=theta_1 ~ [2pi]$.

On a :

$cos(theta_1)=dfrac{1}{sqrt2}=dfrac{sqrt2}{2}$ et $sin(theta_1)$

$cos(theta_1)= dfrac{1}{sqrt2}=dfrac{sqrt2}{2}$.

Conclusion : $theta_1=dfrac{pi}{4}~ [2pi]$.

 

$z_2$ s’écrit : $z_2=a_2+ib_2$ avec $a_2=4$ et $b_2=-4$ donc

$|z_2|=sqrt{a_2^2+b_2^2}=$

$|z_2|=sqrt{16+16}=4sqrt{2}$.

On note $operatorname{arg}(z_2)=theta_2 ~ [2pi]$.

On a :

  • $cos(theta_2)=dfrac{4}{4sqrt{2}}=dfrac{sqrt2}{2} $ 
  • $sin(theta_2)= dfrac{-4}{4sqrt{2}}=-dfrac{sqrt2}{2}$.

Conclusion : $theta_2=-dfrac{pi}{4}~ [2pi]$.

Argument et angle formé par deux vecteurs

A savoir par coeur :

Soient (A(z_A), B(z_B), C(z_C), D(z_D)) quatre points d’un plan complexe.

(arg left(dfrac{z_D – z_C}{z_B – z_A}right) = (overrightarrow{AB} ; overrightarrow{CD}) [2pi])

Ainsi ( arg left(dfrac{z_D – z_C}{z_B – z_A}right)) est égal à l’angle formé entre les vecteurs (overrightarrow{AB}) et (overrightarrow{CD}) modulo (2pi).

Caractérisation de nombres complexes

Caractérisations des nombres complexes

 

Réels et imaginaires purs

Soit $z=a+ib$ un nombre complexe quelconque.

On dit que $z$ est réel lorsque $b=0$ et que $z$ est imaginaire pur lorsque $a=0$.

 

Exemple

  • $2i$ est imaginaire pur,
  • $3$ est réel
  • $3+2i$ n’est ni réel, ni imaginaire pur.

 

Caractérisation avec les parties réelles et imaginaires

On constate simplement que si $z$ est un nombre complexe non nul, $boxed{zin mathbb{R} Leftrightarrow Im(z)=0}$.

Autrement dit, $z$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.

De même, $z$ est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle : $boxed{zin imathbb{R} Leftrightarrow Re(z)=0}$.

 

Caractérisation avec l’argument

Soit $z$ un nombre complexe non nul.

 $bullet$ $z$ est réel si et seulement si $arg(z)=kpi$ avec $kin mathbb{Z}$.

 $bullet$ $z$ est imaginaire pur si et seulement si $arg(z)=dfrac{pi}{2}+kpi$ avec $kin mathbb{Z}$.

 

Illustration graphique

 

--37

L’affixe du point $M$ est un réel négatif, tandis que l’affixe du point $N$ est imaginaire pur.

le point $A$ a un affixe réel égal à $1$.

Propriétés des modules et arguments

Propriétés des modules et arguments

 

Module

Soient $z$ et $z’$ deux nombres complexes (avec $z’$ non nul).

On a les propriétés suivantes :

 

$bullet $ $|ztimes z’|=|z|times |z’| $

 

$bullet $ $ |z^n|=|z|^n$ pour $nin mathbb{N}$

 

$bullet$ $left| dfrac{z}{z’}right| = dfrac{|z|}{|z’|}$ si $z’neq 0$

 

$bullet$ $|z+z’| leqslant |z|+|z’|$

 

Argument

Soient $z$ et $z’$ deux nombres complexes (avec $z’$ non nul).

On a les propriétés suivantes :

 

$bullet $ $ arg(ztimes z’)=arg(z)+arg(z’) ~ [2pi]$

 

$bullet $ $ arg(z^n)=ntimes arg(z) ~ [2pi]$ pour $nin mathbb{N}$

 

$bullet$ $ argbigg(dfrac{z}{z’}bigg) = arg(z)-arg(z’) ~ [2pi]$

 

Exemple

Soient $a=1+i$ et $b=2i$ deux nombres complexes.

Calculer le module de $a^4$ ainsi qu’un argument de $dfrac{a}{b}$.

 

D’après les propriétés du module on a : $|a^4|=|a|^4$ donc on calcule $|a|=sqrt{1^2+1^2}=sqrt2$.

Finalement : $|a^4|=|a|^4=sqrt2^4= 4$.

D’après les propriétés des arguments, on a : $argleft(dfrac{a}{b} right)= arg(a)-arg(b)~ [2pi]$.

Ici, on a : $a={sqrt2}left(dfrac{sqrt2}{2}+idfrac{sqrt2}{2}right)$ donc $arg(a)=dfrac{pi}{4}~ [2pi]$.

De plus, comme $b$ est un imaginaire pur, $arg(b)=dfrac{pi}{2}~ [2pi]$.

On en déduit que $argleft(dfrac{a}{b} right)=dfrac{pi}{4}-dfrac{pi}{2}~ [2pi]$.

Finalement : $argleft(dfrac{a}{b} right)= -dfrac{pi}{4} ~ [2pi]$

Forme trigonométrique et exponentielle - Propriétés

Propriétés des formes trigonométriques et exponentielles

 

Opérations sur l’exponentielle complexe

 

Module

Par définition, on a $e^{itheta}=cos(theta)+isin(theta)$ donc

$|e^{itheta}|=sqrt{cos^2(theta)+sin^2(theta)}=1$. 

A retenir donc :Tout nombre complexe de la forme $e^{itheta}$ se situe sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, c’est-à-dire que son module vaut $1$.

  

Conjugué

Si $z=e^{itheta}$ alors on a $boxed{bar z = e^{-itheta}}$.

 

Périodicité et inverse

Les fonctions cosinus et sinus étant périodiques de période $2pi$ on a, pour tout $kin mathbb{N}$ :

$boxed{ e^{i(theta+2kpi)}=e^{itheta}}$

On a, en outre, l’égalité suivante :

$boxed{dfrac{1}{e^{itheta}}=e^{-itheta}}$.

 

 

Produit et quotient

Si $theta$ et un réel et $n$ un entier naturel, on a :

$boxed{{(e^{itheta})}^n=e^{intheta}}$.

De manière plus générale, si $theta$ et $theta’$ sont des réels quelconques :

$boxed{e^{i(theta+theta’)}=e^{itheta}times e^{itheta’}}$.

Enfin, le quotient de deux exponentielles complexes donne le résultat suivant :

$boxed{dfrac{e^{itheta}}{e^{itheta’}}=e^{i(theta-theta’)}}$.

 

Exemple

On définit les deux nombres complexes $a=1+i$ et $b=2i$.

Calculer la forme exponentielle de $a$ puis de $b$ et en déduire celle de $atimes b$ et celle de $dfrac{bar a}{b}$.

 

En utilisant les méthodes vues dans les vidéos précédentes, on trouve aisément : 

$a=sqrt2 e^{ifrac{pi}{4}}$ et

$b=2e^{ifrac{pi}{2}}$.

On en déduit avec les formules de la notation exponentielle que:

$acdot b = 2sqrt2 e^{i(frac{pi}{2}+frac{pi}{4})} $

$acdot b = 2sqrt2 e^{ifrac{3pi}{4}}$

 

De même, on a :

$bar a = sqrt2 e^{-ifrac{pi}{4}}$ donc

$dfrac{bar a}{b}= dfrac{sqrt2}{2}e^{i(-frac{pi}{4}-frac{pi}{2})}$

$dfrac{bar a}{b}= dfrac{sqrt2}{2}e^{-ifrac{3pi}{4}}$.