L’incontournable du chapitre

Définition du logarithme népérien

Définition du logarithme népérien 

 

Définition

 

La fonction logarithme népérien est l’unique fonction $f$, définie et dérivable sur $]0; +infty[$ qui vérifie $begin{array}{l} f(1) = 0 \ f'(x) = \dfrac{1}{x} end{array}$

On remarquera ici que l’on définit la fonction $f$ à partir de sa dérivée.

En outre, on peut noter que l’on \ne connaissait jusqu’à présent pas de fonction dont la dérivée valait $dfrac{1}{x}$. 

En supposant que le cours portant sur les intégrales a déjà été étudié, on peut alors définir la fonction logarithme népérien, que l’on note $ln$ comme étant la primitive de $x \mapsto dfrac{1}{x}$ sur $]0; +infty[$ et qui s’annule en $1$. 

Ainsi, pour tout réel $x > 0$, 
$ln x = \displaystyle int_1^x \dfrac{1}{t} dt$

On notera que lorsque $x = 1$, $ln 1 = \displaystyle int_1^1 \dfrac{1}{t} dt = 0$. 

Graphiquement, la fonction $ln x$ correspond à l’aire sous la courbe de la fonction inverse, comprise entre les droites verticales d’abscisse $1$ et $x$.

 

Propriétés analytiques

 

Propriétés analytiques

 

La fonction $ln $ est définie et dérivable sur $]0;+infty[$.

Pour tout réel $displaystyle x>0, (ln x)’= dfrac{1}{x}$.

La fonction $ln $ est continue et strictement croissante sur $]0;+infty[$.

D’autre part,

$ln (1)=0$ 

$ln (e)=1$

$displaystylelimlimits_{x \rightarrow +infty} \ln x= +infty$

$displaystyle lim_{substack{x \to 0\ x > 0}} \ln x=-infty$

 

Variations et représentation graphique

 -31_1

 

-32_1

Théorème des croissances comparées

Théoréme des croissances comparées

 

Pour $n$ appartenant à $mathbb{N}$ :

1. $displaystyle \lim limits_{substack{x \to 0\ x > 0}} x \ln x = 0$    et    $displaystyle \lim limits_{substack{x \to 0\ x > 0}} x^n \ln x = 0.$

2. $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} \dfrac{ln x}{x}=0$    et    $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} \dfrac{ln x}{x^n}=0.$

 

Exemple

Calculer $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} x^3-ln x$.

 

étape 1 : On repére une forme indéterminée du type $infty-infty$ et on factorise par $x^3$.

$displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} x^3-ln x=displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} x^3( 1- \dfrac{ln x}{x^3}) $

étape 2 : On utilise le théoréme des croissances comparées pour lever l’indétermination.

On sait que: $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} \dfrac{ln x}{x^3}= 0$.

Ainsi, le terme dans la parenthése tend vers $1$ et par produit de limites, on obtient :

$displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} x^3( 1- \dfrac{ln x}{x^3})=+infty$

 

Nombre dérivé en 1

A savoir : $displaystylelim_{hto 0} \dfrac \{ \ln (1+h)}{h}=1$

 

Preuve :

On calcule $displaystylelim_{hto 0} \dfrac \{ \ln (1+h)}{h}$.

étape 1 : On réécrit la limite de manière à faire apparaître $ln 1$ au numérateur et 1 au dénominateur.

On vérifie aisément que $h=1+h-1$.

$displaystylelim_{hto 0} \dfrac \{ \ln (1+h)}{h}=displaystylelim_{hto 0} \dfrac \{ \ln (1+h)-ln 1}{1+h-1}$

étape 2 : On reconnaît la formule du nombre dérivé de la fonction $ln $ en 1.

La fonction $ln $ a pour dérivée la fonction $displaystyle dfrac{1}{x}$ qui prend donc la valeur 1 lorsque $x=1$.

Conclusion : $displaystylelim_{hto 0} \dfrac \{ \ln (1+h)-ln 1}{(1+h)-1}=displaystylelim_{hto 0} \dfrac \{ \ln (1+h)}{h}=1.$

Propriétés algébriques

La fonction logarithme népérien

 

Définition

 

La fonction logarithme népérien est la fonction (f) définie et dérivable sur (]0;+infty[) tel que

(f(1)=0) et (f'(x)=dfrac{1}{x})

(ln) est la primitive de (xmapstodfrac{1}{x}) sur (]0;+infty[) qui s’annule en 1.

 

Propriétés algébriques

Pour tous réels $x>0$ et $y>0$ :

$ln (xy)= \ln x+ln y$

$displaystyle \ln ( displaystylefrac{1}{x}) = -ln x$

$displaystyle \ln ( displaystylefrac{x}{y}) = \ln x-ln y$

$displaystyle \ln ( x^n) = n \ln x$ avec n $epsilon$ $mathbb{Z}$

Exemple :

Réduire : $A=ln8-3ln16$  et  $B$= $displaystyle frac{4ln9+5ln27}{ln3}$.

étape 1: On réécrit l’expression $A$ pour faire apparaître $ln 2$.

$A=ln 2^3-3ln 2^4$

étape 2 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l’expression :

$displaystyle \ln (x^n)=nln x$ avec $displaystyle n \in mathbb{Z}$.

$A=3ln 2-12ln 2$

$A=-9ln 2$

étape 3: On réécrit l’expression $B$ pour faire apparaître $ln 3$.

$B$= $displaystyle frac{4ln 3^2+5ln 3^3}{ln 3}$

étape 4 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l’expression :

$displaystyle \ln (x^n)=nln x$ avec $displaystyle n \in mathbb{Z}$.

$B$= $displaystyle frac{8ln 3+15ln 3}{ln 3}$

On factorise par $ln 3$ pour finir le calcul.

$B$= $displaystyle frac{23ln 3}{ln 3}$

$B$= 23

 

Autre exemple :

Simplifier : $C$= $displaystyle \ln (x+3)+ln 2-2ln (x+1)$ en précisant l’intervalle d’étude.

étape 1 : On précise l’ensemble de définition de l’expression.

$x$ doit vérifier $x+3>0$ et $x+1>0$, c’est-à-dire :

$x>-3$ et $x>-1$.

La condition finale est donc: $x>-1$.

étape 2 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l’expression :

  • $ \ln (xy)=ln x+ln y$,
  • $ln (displaystylefrac{x}{y})=ln x-ln y$
  • $ln (x^n)=nln x$ avec $n \in mathbb{Z}$

Ainsi,

$C$= $displaystyle \ln (2x+6)-ln (x+1)^2$

$C$= $displaystyle \ln {frac{2x+6}{(x+1)^2}}$

Équations, inéquations et logarithme népérien

Résolutions d’équations et inéquations avec la fonction $ln$

Liens avec la fonction exponentielle :

Pour tout réel $x$, $ln (e^x)=x$.

Pour tout réel $x>0$, $e^{ln x}=x$.

 

Equations 

Pour tous réels $x>0$ et $y>0$,

$displaystyle \ln x=ln y \iff x=y$.

Pour tout réel $x>0$ et tout réel $a$,

$displaystyle \ln x=aiff x=e^a$.

 

Inéquations

Pour tous réels $x>0$ et $y>0$,

$displaystyle \ln x<ln y \iff x < y$.

Pour tout réel $x>0$ et tout réel $a$,

$displaystyle \ln x<aiff x<e^a$.

 

Exemple

Résoudre $displaystyle 3ln (x+1)-3=0$ en précisant l’ensemble d’étude.

 

étape 1 :

On n’oublie pas de préciser l’ensemble de définition sur lequel on travaille.

$x$ doit vérifier : $x+1>0$ soit : $x>-1$.

On cherche donc des solutions sur $]-1;+infty[$.

 

étape 2 :

On se ramène à une écriture du type : $ln x=ln y$ en utilisant $ln e=1$.

$displaystyle 3ln (x+1)=3$

$displaystyle \ln (x+1)=1$

$displaystyle \ln (x+1)= \ln e$

 

étape 3 :

On sait que $displaystyle \ln x=ln y \iff x=y$  Ainsi :

$displaystyle x+1= e$

$displaystyle x= e-1$

 

étape 4 :

On conclut en donnant l’ensemble des solutions.

$mathcal{S} = \{ e-1}$ 

 

Autre exemple

Résoudre  sur $]-1;+infty[$ :

$displaystyle \ln (x+3)-2ln (x+1) \leqslant 0 $

 

étape 1 :

On sait que $displaystyle \ln x \leqslant \ln y \iff x \leqslant y$ donc on réécrit l’expression pour faire apparaître l’inéquation entre deux logarithmes.

$displaystyle \ln (x+3) \leqslant 2ln (x+1)$ soit

$displaystyle \ln (x+3) \leqslant \ln (x+1)^2$

 

étape 2 :

On applique les propriétés du logarithme sur les inéquations.

$displaystyle \ln (x+3) \leqslant \ln (x+1)^2 \iff (x+3) \leqslant (x+1)^2$

$displaystyle x+3 \leqslant x^2 + 2x +1$

$displaystyle x^2 + x -2 \geqslant 0$

 

étape 3 :

On remarque que $1$ est une solution évidente du trinôme où on calcule son discriminant et on trouve que $1$ et $-2$ sont les racines de $x^2 + x -2.$

 

étape 4 :

Pour déterminer le signe du trinôme, on utilise un tableau de signes uniquement sur l’ensemble de définition.

La racine $x=-2$ n’apparait donc pas :

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étape 5 :

On fait attention à l’ensemble de définition de départ avant de conclure.

$mathcal{S} = [1; +infty[$

Fonctions composées - ln (u(x))

Fonctions composées $ln(u(x))$

Théorème

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $I$ par:

$displaystyle f(x) = ln(u(x))$ où $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur $I$,

alors $f$ est dérivable sur $I$ et $f'(x) = displaystyledfrac{u'(x)}{u(x)}.$

Exemple

Déterminer l’ensemble de définition et la dérivée de la fonction $f$ définie par : 

$displaystyle f(x) = ln(x^2+x+1)$

 

Le discriminant $Delta = 1-4= -3$ donc

$x^2+x+1 > 0$.

La fonction est donc définie et dérivable sur $mathbb{R}$.

Pour tout $x \in mathbb{R}$, on a :

$u(x)=x^2+x+1$ et $u'(x)=2x+1.$

Alors : $f'(x) = displaystylefrac{2x+1}{x^2+x+1}$.

Pour étudier les variations de cette fonction, on pourra juste étudier le signe de $2x+1$