L’incontournable du chapitre

Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire dans l’espace

 

Rappel : Vecteurs colinéaires

 

Deux vecteurs $overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $lambda$ tel que $overrightarrow{u}=lambdaoverrightarrow{v}$.

Exemple :

 vecyteurs-colineaires

Propriétés

Deux vecteurs $overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ colinéaires et non nuls ont la même direction.

Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.

 

Exemple

Les vecteurs $overrightarrow{u}(2;3;1)$ et $overrightarrow{v}(-6;9;-3)$ sont colinéaires car $overrightarrow{v}=-3timesoverrightarrow{u}$.

Les vecteurs $overrightarrow{u}(2;-3;1)$ et $overrightarrow{v}(4;-6;-2)$ \ne sont pas colinéaires car

$2times 2=4$   ;   $2times(-3)=-6$    mais   $2times 1neq -2$.

 

Produit scalaire, Définition

 

Dans l’espace, une unité de longueur étant choisie, on a pour tous vecteurs $overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$:

$overrightarrow{u}.overrightarrow{v}=dfrac{1}{2}(||overrightarrow{u}||^2+||overrightarrow{v} ||^2-||overrightarrow{u}-overrightarrow{v} ||^2)$.

Coordonnées

 

On considère les deux vecteurs $overrightarrow{u}(x;y;z)$ et $overrightarrow{v}(x’;y’;z’)$, le produit scalaire de $overrightarrow{u}$ et de $overrightarrow{v}$ est le réel :

$overrightarrow{u}.overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’$.

 

Théorème

 

Soient deux vecteurs $overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ non nuls et trois points $O$, $A$ et $B$ tels que $overrightarrow{u}=overrightarrow{OA}$ et $overrightarrow{v}=overrightarrow{OB}$.

Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

$(OA)$ et $(OB)$ sont perpendiculaires,

$overrightarrow{u}cdotoverrightarrow{v}=0$

$overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ sont orthogonaux : on notera $overrightarrow{u}botoverrightarrow{v}$.

vecteurs-orthogonaux

 

Exemple

On considère les vecteurs $overrightarrow{u}(1;3;1)$ et $overrightarrow{v}(4;1;-7)$.

Sont-ils orthogonaux ?

 

Correction

On calcule leur produit scalaire :

$overrightarrow{u}.overrightarrow{v}=1times 4+3times1+1times (-7)=0$

$overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ sont donc orthogonaux car leur produit scalaire est nul.

Équation paramétrique d'une droite

Système d’équations paramétriques d’une droite

 

Définition

 

Soit une droite $D$ définie par un point $A(x_A;y_A;z_A)$ et un vecteur directeur $overrightarrow{u}(alpha;beta;gamma)$ non nul.

Un point $M(x;y;z)$ appartient à $D$ si et seulement si les vecteurs $overrightarrow{AM}$ et $overrightarrow{u}$ sont colinéaires.

C’est-à-dire s’il existe un réel $k$ tel que $overrightarrow{AM}=koverrightarrow{u}$.

On traduit cette égalité par un système d’équations paramétriques de la droite $D$:

(Dleft{ begin{array}{ll}x-x_A=kalpha \y-y_A=kbeta  \z-z_A=kgammaend{array} right. )      avec $k \in mathbb{R}$

 

 

Exemple

Soit $Delta$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $overrightarrow{u}$, avec $overrightarrow{u} (-2;-1;3)$ et $A(3;4;-5)$.

Donner un système d’équations paramétriques de $Delta$

 

Correction

On définit un système d’équations paramétriques de $Delta$ à partir des coordonnées du vecteur $overrightarrow{u}$ et du point $A$.

(Deltaleft{ begin{array}{ll}x-3=k(-2)  \y-4=-k  \z+5=3kend{array} right. )      avec $k \in mathbb{R}$

$iff$ (Deltaleft{ begin{array}{ll}x=3-2k  \y=-k+4  \z=3k-5end{array} right. )     avec $k \in mathbb{R}$

 

Équation cartésienne d'un plan

Equation cartésienne d’un plan

 

Définition

 

Soient $a,b,c$ et $d$ quatre réels avec $a,b$ et $c$ tous nuls.

$mathcal{P} :ax+by+cz+d=0$ est l’équation cartésienne d’un plan de l’espace.

 

Propriété

 

Tout plan $mathcal{P}$ d’équation $ax+by+cz+d=0$ admet un vecteur normal non nul $overrightarrow{n}(a;b;c)$.

La réciproque est vraie.

equation-cartesienne-plan

 

Exemples

1) Déterminer l’équation cartésienne du plan $mathcal{P}$ passant par $A(4;0;-1)$ et normal à $overrightarrow{n}(2;-1;3)$.

2) Soit $mathcal{P}: 2x-4y+6z-9=0$.

Déterminer un vecteur $overrightarrow{n}$ normal à $mathcal{P}$ et un point $A$ du plan

 

Correction

  • 1) Etape 1 : On définit l’équation cartésienne du plan à partir des coordonnées du vecteur $overrightarrow{n}$.

On a: $mathcal{P} : 2x-y+3z+d=0$.

  • Etape 2 : On sait que $A \in \mathcal{P} $, on remplace $x, y$ et $z$ par les coordonnées du point $A$ appartenant au plan.

$2(4)-0+3(-1)+d=0$

  • Etape 3 : On en déduit la valeur de $d$ et ainsi l’équation cartésienne du plan $mathcal{P}$.

$d=-5$

On conclut que: $mathcal{P} :2x-y+3z-5=0$.

 

  • 2) Etape 1 : On définit un vecteur $overrightarrow{n}$ normal à $mathcal{P}$ à partir des coefficients de $x,y$ et $z$ de l’équation cartésienne.

$overrightarrow{n}(2;-4;6)$ ou encore $overrightarrow{n’}(1;-2;3)$ sont deux vecteurs normaux.

  • Etape 2 : On fixe deux des trois inconnues afin de calculer les coordonnées pour que le point $A$ appartienne au plan.

On pose : $x=1$ et $y=2$ , avec $A \in \mathcal{P} $, on remplace : $2-8+6z-9=0$. $z=dfrac{15}{6}=dfrac{5}{2}$

On a alors : $Aleft(1;2;dfrac{5}{2}right)$

Distance d'un point à un plan / à une droite

Ces notions \ne sont pas exigibles au programme :

– Soient le plan (P) d’équation (ax + by + cz + d = 0) et un point (A (x_A; y_A; z_A)).

La distance du point au plan se calcule par :

(D(A, P) = AH = dfrac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{sqrt{a^2 + b^2 + c^2}})

– La distance du point $A$ à une droite (Delta) est la distance (AH) telle que :

( left{ \begin{array}{ll} H \in \Delta \ \overrightarrow{AH} . \overrightarrow{u} = 0 \end{array} right. )

$overrightarrow{u}$ étant une vecteur directeur de la droite$Delta$

Projection orthogonale

Projection orthogonale dans l’espace

 

Sur un plan : définition

 

Le projeté d’un point (A) sur un plan est le point (H) du plan tel que (overrightarrow{AH}) est orthogonal au plan.

projection-orthogonale-plan

 

Sur une droite : définition

Le projeté orthogonal d’un point (A) sur une droite (Delta) est le point (H) vérifiant :

( left{ \begin{array}{ll} H \in \Delta \ \overrightarrow{AH} . \overrightarrow{u} = 0 \end{array} right. )

où (overrightarrow{u}) est un vecteur directeur de la droite (Delta).

projection-orthogonale-droite