L’incontournable du chapitre

Agrandissement - Réduction

Agrandissement – Réduction

 

Propriétés

 

Lorsque l’on réalise un agrandissement ou une réduction d’une figure ou d’un solide, toutes les longueurs sont multipliées par un coefficient multiplicateur $k$.

Les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes sont multipliés par $k^3$. 

 

Lorsqu’il s’agit d’un agrandissement, le coefficient $k$ est supérieur strictement à 1.

Lorsqu’il s’agit d’une réduction, le coefficient $k$ est inférieur strictement à 1 et positif.

 

1)

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Par exemple, le cube a été agrandit d’un coefficient égal à 3. Ses surfaces ont donc été multipliées par 9.

Le cube ainsi agrandi est donc 27 fois plus volumineux que le cube initial. 

 

2)

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Le rayon de la boule a été réduit de moitié. Le coefficient multiplicateur est donc égal à 0,5 : le diamètre est deux fois plus petit.

La surface de la sphère est donc multipliée par $(0,5)^2=0,25$

Le volume de la boule est multiplié par $(0,5)^3=0,125$.  

 

Théorème de Thalès

Théorème de Thalès

 

Il existe deux situations où l’on peut appliquer le théorème de Thalès qui sont représentées par le schémas ci-dessous. 

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Deux droites doivent donc être sécantes et sont coupées par deux droites parallèles. 

 

Théorème 

 

Si $O, A, M$ alignés

    $O, B, P$ alignés

    $(AB) // (MP)$

Alors

$dfrac{OA}{OM} = \dfrac{OB}{OP} = dfrac{AB}{MP}$.

 

Le point $O$ est appelé le point charnière

Ce théorème permet d’obtenir des quotients de longueurs, permettant ainsi de trouver des d’autres longueurs.

 

Exemple :

Les points $R, S, U$ sont alignés ainsi que les points $T, R, V$.

Les droites $(ST)$ et $(VU)$ sont parallèles.

Donnons une valeur approchée de $RV$ à $10^{-2}$.

 

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D’après le théorème de Thalès,

$dfrac{RU}{RS} = \dfrac{RV}{RT} = dfrac{VU}{ST}$.

$dfrac{64}{12} = dfrac{RV}{10}$

$12 \times RV = 10 \times 64$

$RV = \dfrac{640}{12} \approx 53,33$

Trigonométrie

Trigonométrie

 

La trigonométrie permet de mettre en relation des longueurs et des angles dans un triangle rectangle.

 

Vocabulaire

L’hypoténuse correspond au plus grand côté, en face de l’angle droit.

Le côté touchant l’angle $widehat{B}$ autre que l’hypoténuse est appelé le côté adjacent.

Le côté en face de l’angle $widehat{B}$ est appelé le côté opposé.

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On définit ainsi le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle $widehat{B}$ par :

$cos widehat{B} = dfrac{text{côté adjacent}}{text{hypoténuse}}$

$sin \widehat{B} = dfrac{text{côté opposé}}{text{hypoténuse}}$

$tan widehat{B} = dfrac{text{côté opposé}}{text{côté adjacent}}$

 

Un moyen mnémotechnique pour se souvenir de ses définitions est :

CAH-SOH-TOA :

Cosinus =  Adjacent divisé par l’Hypoténuse,

Sinus = Opposé divisé par l’Hypoténuse,

Tangente = Opposé divisé par Adjacent

 

Propriétés

Le cosinus et le sinus d’un angle sont reliés par la relation suivant : $(cos widehat{B})^2 + (sin widehat{B})^2 = 1$

Enfin, la tangente d’un angle peut être définie à partir du sinus et du cosinus de l’angle : 

$tan widehat{B} = dfrac{sin widehat{B}}{cos widehat{B}}$

 

Exemple : 

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On cherche la valeur de l’angle $widehat{M}$.

Il s’agit donc de déterminer si il faut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente.

Ici, l’hypoténuse est donné ainsi que le côté adjacent : on utilise donc le cosinus. 

Ainsi, $cos widehat{M} = dfrac{MO}{MP}$

$cos widehat{M} = dfrac{6}{11}approx 0,545$

Donc en utilisant la calculatrice pour déterminer l’angle en connaissant la valeur de son cosinus on trouve $widehat{M} \approx 56,9°$

Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

 

Propriété

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Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors ${AB}^2 + {AC}^2 = {BC}^2$

Ou encore :

la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré de l’hypoténuse

Cette relation permet, en connaissant la longueur de deux côtés, de trouver la longueur du dernier côté. 

 

Exemple :

Soit $OMP$ un triangle rectangle en $O$, tel que $OM = 5 $ et $MP = 13$.

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D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle $OMP$ rectangle en $O$,

${OM}^2 + {OP}^2 = {MP}^2$ 

$5^2 + {OP}^2 = {13}^2$

$25 + {OP}^2 = 169$

${OP}^2 = 169 – 25$

${OP}^2 = 144$

$OP = sqrt{144}$

$OP = 12$

Réciproque du théorème de Pythagore

Réciproque du théorème de Pythagore

 

Propriété

 

Soit $ABC$ un triangle,

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si ${AB}^2 + {AC}^2 = {BC}^2$, alors $ABC$ est un triangle rectangle en $A$

ou encore

si la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré du troisième alors le triangle est rectangle et le troisième côté est l’hypoténuse

 

Ce théorème permet de prouver qu’un triangle est rectangle en connaissant la valeur de ses côtés.

 

Exemple :

Soit un triangle $RST$ tel que $RT = 1,2$  $TS = 1,6$  $RS = 2$. 

Si l’énoncé \ne fournit pas de schéma, il est utile d’en faire un à main levée qui respecte les proportions (le plus grand côté sur le schéma correspond au plus grand côté du triangle $RST$). 

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Si ce triangle est rectangle, alors son hypoténuse est $RS$ car c’est le plus grand côté.

On calcule alors séparément ${RS}^2$ et ${RT}^2 + {TS}^2$ pour comparer ces valeurs.

Ainsi,

${RS}^2 = 2^2 = 4$.

De même,

${RT}^2 + {TS}^2 = {1,2}^2 + {1,6}^2 $

${RT}^2 + {TS}^2= 1,44 + 2,56$

${RT}^2 + {TS}^2= 4$

Donc ${RS}^2 = {RT}^2 + {TS}^2$

 

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ est rectangle en $T$. 

Réciproque du théorème de Thalès

Réciproque du théorème de Thalès

 

 

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Théorème :

 

Si $O, E, G$ d’une part et $O, F, H$ d’autre part sont alignés dans le même ordre

et si $dfrac{OE}{OG} = dfrac{OF}{OH}$

Alors les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont parallèles

 

Exemple :

 

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Démontrer que les droites $(DE)$ et $(FG)$ sont parallèles. 

On commence donc par calculer de manière distincte $dfrac{OG}{OD}$ et $dfrac{OF}{OE}$.

Ainsi :

$dfrac{OG}{OD} = dfrac{5}{7}$.

De même, 

$dfrac{OF}{OE} = dfrac{3}{4,2} $

$dfrac{OF}{OE} = \dfrac{30}{42} $

$dfrac{OF}{OE} = dfrac{5}{7}$.

Il \ne faut pas donner les résultats sous forme approchée car il \ne sera plus possible de comparer les deux fractions : il faut donc écrire le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. 

Donc, $dfrac{OG}{OD} = dfrac{OF}{OE}$.

$O, D, G$ d’une part et $O, E, F$ d’autre part sont alignés dans le même ordre.

Conclusion, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(DE)$ et $(FG)$ sont parallèles.