L’incontournable du chapitre

Moyenne d'une série statistique

Moyenne d’une série statistique

 

Considérons la série statistique constituée de sept termes suivantes représentant le poids de sept personnes :

65 ; 54 ; 84 ; 66 ; 84 ; 59 ; 70

La moyenne de cette série correspond au poids moyen. 

 

Méthode de calcul

 

Afin de la calculer, il faut additionner tous les termes puis diviser le résultat par le nombre total de termes. 

On trouve alors

$m = \dfrac{65 + 54 + …. + 70}{7} \approx 68, 857$

$m \approx 68, 9 $ kg au dixièmes près. 

Médiane

Médiane d’une série statistique

 

Définition

 

La médiane correspond à la valeur pour laquelle la moitié des termes de la série statistique lui est inférieure et l’autre moitié supérieure. 

Afin de calculer la médiane, il faut d’abord classer les termes de la série dans l’ordre croissant. 

 

Exemple

Considérons par exemple la série statistique suivante :

65 ; 54 ; 84 ; 66 ; 84 ; 59 ; 70

que l’on réordonne par ordre croissant 

54 ; 59 ; 65 ; 66 ; 70 ; 84 ; 84

 

Ici le nombre médian est 66 : il y a trois termes plus petits et trois termes plus grands. 

Lorsque la série statistique contient un nombre impair de termes ($N$), la médiane appartient à la série statistique et est le terme de rang $dfrac{N + 1}{2}$. 

 

Autre exemple

Si on considère maintenant la série suivante composé de  8 termes : 

65 ; 54 ; 84 ; 66 ; 84 ; 59 ; 70 ; 72

qui donne une fois classée par ordre croissant :

54 ; 59 ; 65 ; 66 ; 70 ; 72 ; 84 ; 84.

D’après la définition, il doit y avoir quatre termes plus petits que la médiane et quatre termes plus grands : la médiane se situe donc entre 66 et 70.

Pour trouver la médiane dans ce cas-là, il faut prendre le terme le plus grand de la série inférieure et le terme le plus petit de la série supérieure et faire leur moyenne. 

Ainsi, si la série statistique contient un nombre pair de termes ($N$), alors la médiane est la moyenne du terme de rang $dfrac{N}{2}$ et de rang $dfrac{N}{2} + 1$.

Ainsi, la médiane dans ce cas là est égale à $dfrac{66 + 70}{2} = 68$. 

 

Fréquence

Fréquence

 

Définition

 

La fréquence d’une valeur dans une série statistique est donnée par la formule 

$f = dfrac{text{effectif de la valeur}}{text{effectif total}}$.

 

Exemple :

21 élèves pratiquent la danse dans une classe de 28. La fréquence des élèves pratiquant la danse est

$f = \dfrac{21}{28} = 0,75$.

 

Propriétés

 

Une fréquence est toujours positive (l’effectif \ne peut être négatif) et inférieure à 1 (l’effectif du caractère que l’on considère \ne peut être supérieur à l’effectif total). 

Pour obtenir une fréquence en pourcentage, on multiplie le résultat par $100$

 

Dans le cas précédent, $0,75times 100 = 75$% d’élèves pratiquent la danse dans la classe

Quartiles

Quartiles

 

Lors du calcul de la médiane, il fallait découper la série statistique en deux sous séries de même longueur. 
Pour le calcul des quartiles, il faut découper la série statistique en quart. 

 

Définition :

 

Le premier quartile noté $Q_1$ correspond à la plus petite valeur telle que au moins un quart des termes de la série statistique ont une valeur inférieure ou égale à $Q_1$. 

Le troisième quartile noté $Q_3$ correspond à la plus petite valeur telle que au moins trois quarts des termes de la série statistique ont une valeur inférieure ou égale à $Q_3$. 

 

Exemple :

On considère la série statistique suivante représentant le poids de sept personnes. Déterminons les quartiles de cette série.

$ 65 ; 54 ; 84 ; 66 ; 84 ; 59 ; 70$

Pour obtenir les deux quartiles à partir de cette série statistique, il faut d’abord la classer par ordre croissant. 

$ 54 ;  59 ; 65 ; 66 ; 70 ; 84 ;  84$

 

Pour déterminer le premier quartile, on commence par calculer le quart de l’effectif.

Ici, l’effectif est égal à 7 : $dfrac{1}{4} \times 7 = 1,75$. 

Cela signifierait alors que le premier quartile serait le terme de rang 1,75 qui n’existe pas.

Dans ce cas là, le premier quartile est le terme dont le rang est le premier entier supérieur au résultat du calcul précédent. 

Ici, le premier quartile est donc le terme de rang 2, c’est à dire

$Q_1 = 59$ kg. 

 

Pour déterminer le troisième quartile, on commence par calculer les trois quarts de l’effectif.

Ici,  $dfrac{3}{4} \times 7 = 5,25$. 

Comme précédemment, le troisième quartile est le terme dont le rang est le premier entier supérieur au résultat du calcul précédent. 

Ici, le troisième quartile est donc le terme de rang 6, c’est à dire

$Q_3 = 84$ kg.