L’incontournable du chapitre

Médiane

Médiane d’une série statistique

 

Définition 

 

La médiane $m$ d’une série statistique est une valeur du caractère étudiée telle que la moitié de la population a des valeurs inférieures à $m$ et l’autre moitié des valeurs supérieures à $m$. 

 

Calcul pratique : 

Pour trouver la médiane, il faut commencer par classer les valeurs par ordre croissant. 
Il faut ensuite distinguer deux cas selon la parité de l’effectif total (le nombre d’individus dans la population) de la série. 

 

1e cas : l’effectif total $N$ est pair 

La médiane est la moyenne des valeurs de rang $dfrac{N}{2}$ et $dfrac{N}{2} + 1$.

 Exemple : on considère un effectif total $N = 6$. La médiane est donc la moyenne de la troisième valeur et de la quatrième. 

 

2e cas : l’effectif total $N$ est impair. 

La médiane est la valeur de rang $dfrac{N + 1}{2}$.

 

Exemple 

Considérons la série statistique suivante donnant un relevé de notes dans un groupe d’élèves: 

Notes  6   7   8  10 12
Effectifs 2 3 4 5 3

L’effectif total est $N = 17$.  L’effectif total est impair. 

La série statistique est ordonnée dans l’ordre croissant.

La médiane sera donc la valeur de rang $dfrac{N +1}{2} = \dfrac{17 + 1}{2} = 9$. 

On cherche ainsi la neuvième valeur en additionnant les effectifs.

Notes  6   7   8  10 12
Effectifs 2 3 4 5 3
Effectifs cumulés croissants 2 5 9 14 17

 

Ainsi, 5 personnes ont eu moins de 7. 

De même, 9 personnes ont eu moins de 8. 

Ainsi, la neuvième note est 8.

La médiane est donc 8.

 

Cela signifie donc que sur l’effectif total, la moitié des personnes a eu une note inférieure à 8 alors que l’autre moitié a eu une note supérieure à 8. 

Il existe une autre méthode pour trouver la médiane qui consiste à expliciter la série statistique : il y a donc deux 6 puis trois 7 puis quatre 8 et ainsi de suite… Puis on compte jusqu’à la neuvième note. 

 

La moyenne et la médiane sont deux indicateurs statistiques différents. 

Variance et écart-type

Variance et écart-type

 

Définitions

 

Considérons la série statistique suivante donnée sous forme d’un tableau.

Valeurs $x_1$ $x_2$ $x_p$
Effectifs $n_1$ $n_2$ $n_p$

 

Sur la première ligne figurent les valeurs de la série et sur la seconde les effectifs. 

L’effectif total $N$ correspond à la somme des effectifs : $N = n_1 + n_2 + … + n_p$. 

 

La moyenne $overline{x}$ est égale à

$overline{x} = dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + … + n_p x_p}{N}$. 

 

La variance $V$ vaut

$V = dfrac{n_1 (x_1 – overline{x})^2 + n_2 (x_2 – overline{x})^2 + … + n_p (x_p – overline{x})^2}{N}$. 

 

L’écart type noté $sigma$ correspond à la racine carrée de la variance :

$sigma = sqrt{V}$. 

 

Exemple :

Considérons la série statistique suivante donnant les notes d’élèves ainsi que les effectifs correspondant:

Notes  $8$   $9$  $10$ $11$
Effectifs $2$ $2$ $1$ $1$

 

Ainsi deux élèves ont eu 8, deux élèves ont eu 9. 

L’effectif total est $N = 2 + 2 + 1 +1 = 6$.

 

La moyenne vaut :

$overline{x} = \dfrac{2 \times 8 + 2 \times 9 + 1 \times 10 + 1 \times 11}{6} approx 9,2$. 

 

La variance vaut

$V = dfrac{2(8 – 9,2)^2 + 2(9 – 9,2)^2 + 1(10 – 9,2)^2 + 1(11 – 9,2)^2}{6} \approx 1,14$.

L’écart type vaut donc

$sigma = \sqrt{V} = sqrt{1,14} \approx 1,1$. 

 

Interprétation

 

L’écart type représente l’écart moyen des notes par rapport à la moyenne générale. 

Cela signifie donc qu’en moyenne dans ce groupe d’élèves, chacun a un écart d’environ 1 point par rapport à la moyenne.

L’écart type est ici peu élevé. En effet, les notes sont relativement rassemblées autour de la moyenne : il n’y a pas de dispersion. 

Ainsi, l’écart type sert à quantifier la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne. 

Quartiles

Quartiles d’une série statistique

 

Définition

Le premier quartile noté $Q_1$ est le plus petit élément des valeurs des termes de la série statistique tel qu’au moins 25% des données sont inférieures ou égales à $Q_1$. 

Le troisième quartile noté $Q_3$ est le plus petit élément des valeurs des termes de la série statistique tel qu’au moins 75% des données sont inférieures ouégales à $Q_3$.

 

Méthodes de calculs :

On commence par ordonner par ordre croissant la série statistique puis on détermine l’effectif total $N$.

Afin de trouver la valeur du premier quartile, on calcule $dfrac{N}{4}$. 

 

Si le résultat est un entier, $Q_1$ sera la valeur de rang $dfrac{N}{4}$.

Exemple : si $N = 16$, alors $Q_1$ est la quatrième valeur de la série.

Si le résultat n’est pas un entier, $Q_1$ est la valeur dont le rang est le premier entier supérieur à $dfrac{N}{4}$.

Exemple : si $N = 21$, alors $Q_1$ est la sixième valeur de la série. 

 

Pour trouver la valeur du troisième quartile, on applique la même méthode en calculant $dfrac{3N}{4}$. 

 

Exemple : 

Considérons la série de notes suivante :

Notes  6   7   8  10 12
Effectifs 2 3 4 5 3

 

 

La série est classée par ordre croissant.

L’effectif total est $N = 17$. 

 

On calcule alors $dfrac{N}{4} = \dfrac{17}{4} = 4,25$.

Le résultat n’est pas un entier, ainsi $Q_1$ est la valeur dont le rang est le premier entier supérieur à 4,25 c’est à dire 5.

Donc $Q_1$ est la cinquième note : $Q_1 = 7$. 

On calcule de même $dfrac{3N}{4} = \dfrac{3 \times 17}{4} =12,75$. 

Le résultat n’est pas un entier, ainsi $Q_3$ est la valeur dont le rang est le premier entier supérieur à 12,75 c’est à dire 13. 

Donc $Q_3$ est la treizième note : $Q_3 = 10$. 

 

La calculatrice dispose d’outils permettant d’effectuer le calcul des quartiles. 

Diagrammes en boîte et écart intercartile

Diagrammes en boîte et écart interquartile

 

Définition 

 

Le diagramme en boîte est un schéma qui résume la série statistique. 
Pour le construire, il faut avoir calculer au préalable la médiane et les quartiles. 

 

Diagramme_en_boite_1e

Les valeurs minimale et maximale de la série sont placées aux extrémités du diagramme.

Entre ces deux valeurs est placé un rectangle dont la première largeur correspond au premier quartile et la largeur opposée au troisième quartile.

Le segment contenu dans le rectangle correspond à la médiane. 

 

L’écart interquartile correspond à la différence entre le troisième quartile et le premier, il est donc égal à $Q_3 – Q_1$. 

L’intervalle interquartile est l’intervalle ayant pour bornes les quartiles, c’est à dire $[Q_1; Q_3]$. Il est visible sur le diagramme en boîte. 

 

Exemple :

Considérons la série statistique suivante représentant les notes d’élèves : 

Notes  6   7   8  10 12
Effectifs 2 3 4 5 3

 

 

La médiane de cette série statistique est 8, le premier quartile est 7 et le troisième vaut 10. 

Pour construire le diagramme en boîte associé, on commence par construire l’axe gradué correspond aux valeurs de la série.

On place donc le premier côté du rectangle pour une valeur égale à 7 puis on place un autre côté du rectangle pour une valeur de 10.

On place ensuite les valeurs minimale et maximales de la série.

Enfin, on place la valeur de la médiane à l’intérieur du rectangle.

 

Interprétations

Le diagramme est donc un outil visuel permettant de faire de nombreuses interprétations.

Par exemple, on peut voir que 50% des élèves a eu une note inférieure à 8. D’autre part, 25% des élèves a eu une note supérieure à 10. 

En outre, la moitié de la population est comprise dans le rectangle, donc la moitié des notes est comprise entre 7 et 10. 

Echantillonnage

Echantillonnage

 

On se demande si à partir d’une population assez grande, on peut étudier un caractère dont on connait la proportion $p$. 

On considère pour se faire un échantillon de taille $n$ connue et on cherche à déterminer si cet échantillon représente la population initiale pour le caractère étudié au seuil de 95% de confiance. 

Le nombre d’individus présentant le caractère étudié au sein de la population suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

La variable aléatoire associée est notée $X$. 

On cherche alors le plus petit entier $a$ tel que $P(X \leq a ) > 0,025$.

De même on cherche le plus petit entier $b$ tel que $P(X \leq b ) \geq 0,975$.

L’intervalle de fluctuation vaut $I_f = \left [ dfrac{a}{n}; \dfrac{b}{n} \right ]$. 

 

A l’issue de ce calcul, il faut prendre une décision, c’est à dire confirmer ou infirmer que l’échantillon correspond à la population. 

Pour cela, on suppose que l’échantillon représente la population : c’est une hypothèse. 

Si la fréquence $f$ constatée appartient à $I_f$ alors on accepte l’hypothèse : l’échantillon représente la population. 

Sinon, on refuse l’hypothèse. 

 

Exemple : 

On considère que 45% de la population française possède des lunettes.

On étudie un échantillon de 35 personnes : on définit alors la variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n = 35$ et $p = 0,45$. 

A partir de la calculatrice, on obtient le tableau suivant :

echantillonage_1e

Par lecture dans le tableau, on voit que $A = 10$ et $b = 22$. 

Ainsi, $I_f = \left [ dfrac{10}{35}; \dfrac{22}{35} \right ]$ au seuil de 95%.

Prise de décision :

Si parmi cet échantillon 17 personnes ont des lunettes, la fréquence du caractère est donc $f = dfrac{17}{35}$.

Ainsi $f \in I_f$ : cet échantillon représente donc bien la population.