L’incontournable du chapitre

Angle orienté et lignes trigonométriques

Angle orienté et lignes trigonométriques

 

 

Le cercle trigonométrique est un cercle de centre $O$ et de rayon 1. 

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On place le point $M$ sur le cercle défini par un réel en radian, qui correspond à un angle de $dfrac{pi}{3}$ ou encore de 60° par rapport à l’axe des abscisses. 

Cependant, le point $M$ correspond à d’autres réels. En effet, si on tourne d’un tour autour du cercle, on retrouve le point $M$.

Comme le cercle a un rayon de 1, faire un tour signifie rajouter $2 pi$.

Ainsi le point $M$ est aussi défini comme le réel $dfrac{pi}{3} + 2 \pi = dfrac{7pi}{3}$.

Donc le point $M$ correspond à une infinité de point de la forme $dfrac{pi}{3} + 2kpi$ avec $k \in mathbb{Z}$ ou encore $dfrac{pi}{3} (text{modulo \} 2 pi)$.

Le cosinus correspond à l’abscisse du point $M$ alors que le sinus correspond à son ordonnée. 

 

Application : 

On cherche à trouver l’angle entre deux vecteurs $overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$.

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Pour se faire, il faut dans un premier temps les reporter sur le cercle trigonométrique en gardant leur sens et leur direction. L’angle entre les deux vecteurs correspond alors à la longueur de l’arc de cercle compris entre ces deux vecteurs. 

On notera ainsi $(overrightarrow{u}, overrightarrow{v}) = a + 2kpi, k \in mathbb{Z}$.

La mesure principale d’un angle est l’unique valeur de l’angle comprise entre $]- pi; pi]$. 

Formules d'additions

Trigonométrie : Formules d’additions

 

Dans ce qui suit, $a$ et $b$ sont deux réels. 

 

$left \{ \begin{array}{l} cos(a + b) = cos(a) cos(b) – sin(a) sin(b) \ cos(a – b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) \ \end{array} right.$

Les formules précédentes peuvent être démontrées à partir du produit scalaire

 

$left \{ \begin{array}{l} sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) \ sin(a – b) = sin(a) cos(b) – cos(a) sin(b) \ \end{array} right.$

 

Pour s’en souvenir, il existe un moyen mnémotechnique : le sinus est sympa : il se mélange avec le cosinus et le signe plus dans le sinus se retrouve entre les deux termes. 

 

En remplaçant $b$ par $a$ dans la première formule on obtient  :

$cos(2a) = cos^2(a) – sin^2(a)$.

Or $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$ pour tout réel $x$. 

Ainsi $cos(2a) = 2cos^2(a) – 1 = 1 – 2sin^2(a)$.

En remplaçant $b$ par $a$ dans le deuxième groupement de formules on obtient  :

$sin(2a) = 2sin(a)cos(a)$.

 

Exemple : Trouvons la valeur exacte de $cosleft (dfrac{5pi}{12} \right )$.

Il s’agit donc de se ramener en utilisant les formules précédentes à des valeurs connues des sinus et des cosinus. 

$cosleft (dfrac{5pi}{12} \right ) = cosleft ( dfrac{2pi}{12} + dfrac{3pi}{12} \right ) $

$iffcosleft (dfrac{5pi}{12} \right )=cosleft ( dfrac{pi}{6} + dfrac{pi}{4} \right ) $

$iffcosleft (dfrac{5pi}{12} \right )=cosleft ( dfrac{pi}{6}right)  cosleft (dfrac{pi}{4} \right ) – sinleft ( dfrac{pi}{6}right) sinleft (dfrac{pi}{4} \right ) $

$iffcosleft (dfrac{5pi}{12} \right )= dfrac{sqrt{3}}{2}times dfrac{sqrt{2}}{2} – dfrac{1}{2}times dfrac{sqrt{2}}{2}$

$iffcosleft (dfrac{5pi}{12} \right )=dfrac{sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} $. 

Résolution d'équations trigonométriques

Résolution d’équations trigonométriques

 

Soit $x$ un réel appartenant au cercle trigonométrique. 

On associe à ce réel son cosinus et son sinus. 

 

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A partir du schéma, on remarque que $cos \left ( dfrac{pi}{2} – x \right ) = sin(x)$ et  $sin \left ( dfrac{pi}{2} – x \right ) = cos(x)$.

On peut également écrire que $cos \left ( dfrac{pi}{2} + x \right ) = – sin(x)$ et $sin \left ( \pi – x \right ) =  sin(x)$.

On peut également retrouver ces formules à partir des formules d’addition. 

 

Les équations trigonométriques

 

Il s’agit dans un premier temps de résoudre $cos(x) = cos(y)$.

Or deux angles ont le même cosinus si et seulement si ils sont égaux ou opposés.

Ainsi,  $cos(x) = cos(y) \iff \left \{ \begin{array}{c} x = y + 2k \pi \  x = – y + 2k \pi \end{array} right. k \in mathbb{Z}$

 

L’équation $sin(x) = sin(y)$ est équivalente à$ \left \{ \begin{array}{c} x = y + 2k \pi \  x = \pi – y + 2k \pi \end{array} right. k \in mathbb{Z}$