Angle orienté et lignes trigonométriques
Angle orienté et lignes trigonométriques
Angle orienté et lignes trigonométriques
Le cercle trigonométrique est un cercle de centre $O$ et de rayon 1.
On place le point $M$ sur le cercle défini par un réel en radian, qui correspond à un angle de $\dfrac{\pi}{3}$ ou encore de 60° par rapport à l’axe des abscisses.
Cependant, le point $M$ correspond à d’autres réels. En effet, si on tourne d’un tour autour du cercle, on retrouve le point $M$.
Comme le cercle a un rayon de 1, faire un tour signifie rajouter $2 \pi$.
Ainsi le point $M$ est aussi défini comme le réel $\dfrac{\pi}{3} + 2 \pi = \dfrac{7\pi}{3}$.
Donc le point $M$ correspond à une infinité de point de la forme $\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ ou encore $\dfrac{\pi}{3} (\text{modulo } 2 \pi)$.
Le cosinus correspond à l’abscisse du point $M$ alors que le sinus correspond à son ordonnée.
Application :
On cherche à trouver l’angle entre deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.
Pour se faire, il faut dans un premier temps les reporter sur le cercle trigonométrique en gardant leur sens et leur direction. L’angle entre les deux vecteurs correspond alors à la longueur de l’arc de cercle compris entre ces deux vecteurs.
On notera ainsi $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = a + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
La mesure principale d’un angle est l’unique valeur de l’angle comprise entre $]- \pi; \pi]$.
Formules d'additions
Résolution d'équations trigonométriques
Résolution d’équations trigonométriques
Soit $x$ un réel appartenant au cercle trigonométrique.
On associe à ce réel son cosinus et son sinus.
A partir du schéma, on remarque que $\cos \left ( \dfrac{\pi}{2} – x \right ) = \sin(x)$ et $\sin \left ( \dfrac{\pi}{2} – x \right ) = \cos(x)$.
On peut également écrire que $\cos \left ( \dfrac{\pi}{2} + x \right ) = – \sin(x)$ et $\sin \left ( \pi – x \right ) = \sin(x)$.
On peut également retrouver ces formules à partir des formules d’addition.
Les équations trigonométriques
Il s’agit dans un premier temps de résoudre $\cos(x) = \cos(y)$.
Or deux angles ont le même cosinus si et seulement si ils sont égaux ou opposés.
Ainsi, $\cos(x) = \cos(y) \iff \left \{ \begin{array}{c} x = y + 2k \pi \\ x = – y + 2k \pi \end{array} \right. k \in \mathbb{Z}$
L’équation $\sin(x) = \sin(y)$ est équivalente à$ \left \{ \begin{array}{c} x = y + 2k \pi \\ x = \pi – y + 2k \pi \end{array} \right. k \in \mathbb{Z}$