L’incontournable du chapitre

Fonction racine carrée

Fonction racine carrée

 

Définition

 

La fonction racine carrée est une fonction définie sur $mathbb{R}^+$ à valeurs dans $mathbb{R}^+$ et on la note $left \{ \begin{array}{ccccc} f & : & mathbb{R}^+ & \to & mathbb{R}^+ \ & & x & \mapsto & \sqrt{x} \end{array} right.$ 

La racine carrée d’un nombre négatif n’existe donc pas et le résultat est obligatoirement positif ou nul. 

 

Variations

 

La fonction est strictement croissante et son tableau de variations est le suivant :

 

 

variations_racine_carree

 

La démonstration de la croissance de la fonction racine carrée est exigible. 

Soient $a$ et $b$ deux réels positifs tel que $a < b$,

On souhaite montrer que $sqrt{a} < sqrt{b}$.

Pour cela, on étudie le signe de la différence $sqrt{b} – sqrt{a}$. 

On utilise donc l’expression conjuguée :

$ \begin{align} \sqrt{b} – \sqrt{a} &=& dfrac{(sqrt{b} – sqrt{a})(sqrt{b}+sqrt{a})}{sqrt{a}+sqrt{b}} \ &=& \dfrac{b – a}{sqrt{a}+sqrt{b}} end{align}$

Or $b > a$ donc $ b – a > 0$. De plus, $sqrt{a}+sqrt{b}$ est toujours positif.

Ainsi, $dfrac{b – a}{sqrt{a}+sqrt{b}} > 0$ ce qui revient à dire que $sqrt{b} – \sqrt{a}  > 0$ ou encore $sqrt{b} > sqrt{a}$. 

 

Représentation graphique

 

 

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La position de la courbe représentation de la fonction racine carrée par rapport aux fonctions $y = x$ et $y = x^2$ est aussi à connaitre. 

 

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On remarque dans un premier temps que les fonctions $y = x^2$ et $y = sqrt{x}$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y = x$. 

Pour $0 \leq x \leq 1$, la fonction $y = sqrt{x}$ est au dessus de la fonction $y = x$ elle même au dessus de la fonction $y = x^2$.

Pour $x \geq 1$, l’ordre est inversé. 

 

Les démonstrations de ces positions sont exigibles. 

Pour étudier la position, on étudie le signe de $f(x) – g(x)$ où $f$ et $g$ sont deux fonctions parmi les trois en utilisant la quantité conjuguée lorsque l’une des fonctions sera la fonction racine carrée. 

Etudions par exemple la position relative de $y = x$ par rapport à $y = sqrt{x}$. On étudie alors le signe de $x – sqrt{x}$:

Soit $x \in mathbb{R}^+, x – \sqrt{x} \geq 0 \iff dfrac{x^2 – x}{ x + \sqrt{x}} \iff x^2 – x \geq 0 \iff x(x – 1) \geq 0 \iff x – 1 \geq 0$ (car $x$ est toujours positif).

Ainsi, pour $x \geq 1$, la fonction $y = x$ est au dessus de la fonction racine carrée.

Pour $x \leq 1$, la fonction racine carrée est au dessus de la fonction $y = x$. 

Fonction cube

Fonction cube

 

Définition

 

La fonction cube est une fonction définie sur $mathbb{R}$ à valeurs dans $mathbb{R}$ et se note $left \{ \begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R} & \to & mathbb{R} \ & & x & \mapsto & x^3 \end{array} right.$.

 

Variations

 

Cette fonction est strictement croissante pour tout réel $x$.

 

 

variations_fonction_cube

 

La représentation graphique de la fonction cube est la suivante :

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A retenir :

Pour tout $x \geq 0, x^3 \geq 0$

Pour tout $x \leq 0,  x^3 \leq 0$. 

Les fonctions $u$ et $u^3$ ont les mêmes variations. 

Par exemple, pour étudier les variations de $(x+3)^3$, on peut étudier les variations de $x + 3$ puis en déduire celle de $(x+3)^3$.

Or on sait que $x + 3$ est une fonction croissante sur $mathbb{R}$, ainsi, $(x+3)^3$ est aussi une fonction croissante.

 

Pour tous réels $a$ et $b$, 

$a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$. 

Fonction valeur absolue

Fonction Valeur absolue

 

Définition

 

La fonction valeur absolue est une fonction définie sur $mathbb{R}$ à valeur dans $mathbb{R}^+$ et on la note $left \{ \begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R} & \to & mathbb{R}^+ \ & & x & \mapsto & |x| \end{array} right.$.

La valeur absolue d’un nombre positif est le nombre lui-même.

La valeur absolue d’un nombre négatif est son opposé. 

En d’autres termes,

Si $x \geq 0, |x| = x$

Si $x \leq 0, |x| = -x$

 

La fonction est strictement décroissante pour $x$ négatif et strictement croissante pour $x$ positif. 

variations_valeur_absolue

 

Sa représentation graphique est la suivante :

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Propriétés 

Pour tout $x \in mathbb{R}, sqrt{x^2} = |x|$. 

Par exemple, $sqrt{(-4)^2} = 4 = |-4|$. 

 

Exemples :

$|-5| = 5$

$|7| = 7$

$|sqrt{2} – 5| = – \sqrt{2} + 5$

$|pi + 2| = \pi + 2$

$|pi – 4| = 4 – pi$

 

Pour étudier la fonction $f(x) = |x + 3|$, on étudie le signe de $x + 3$ en s’aidant d’un tableau de signe.

Si $x + 3 \geq 0$ alors $f(x) = x + 3$. Si $x + 3 \leq 0$ alors $f(x) = -(x + 3)$.