Linéarité de la moyenne

Linéarité de la moyenne

Linéarité de la moyenne 

 

Propriété :

 

Si une série de valeurs $x_i$ a pour moyenne $overline{x}$ alors la série de valeurs $ax_i + b$ avec $(a, b) \in mathbb{R}^2$ a pour moyenne $overline{y} = a \overline{x} + b$. 

On étudie la série statistique suivante :

indices $i$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
valeurs $x_i$ $-4$ $-1$ $0$ $1$ $10$
effectifs $n_i$ $2$ $3$ $2$ $1$ $7$

 

L’effectif total $N$ correspond à la somme des effectifs $x_i$ :

$N = \displaystyle sumlimits _{i = 1}^5 n_i =n_1+n_2+n_3+n_4+n_5= 15$.

 

La moyenne arithmétique correspond à la somme des produits des valeurs par les effectifs, que l’on divise ensuite par l’effectif total :

$overline{x} = \dfrac{1}{N} displaystyle sumlimits _{i = 1}^5 n_ix_i =dfrac{1}{15}(2 \times (-4) +  3 \times (-1) + … + 7 \times 10) = 4$.

 

On étudie à présent une nouvelle série statistique, liée à la précédente dont on change les valeurs en gardant les effectifs, par la formule $y_i = 2x_i + 3$ pour tout $i \in {1,2,3,4,5}$. 

indices $i$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
valeurs $y_i$ $-5$ $1$ $3$ $5$ $23$
effectifs $n_i$ $2$ $3$ $2$ $1$ $7$

 

On calcule alors la moyenne de cette nouvelle série :

$overline{y} =  \dfrac{1}{N} displaystyle sumlimits _{i = 1}^5 n_iy_i =11$.

On vérifie alors que $overline{y} = 2 \overline{x} + 3$. 

On retrouve donc bien la même expression que celle utilisée pour modifier les $x_i$.