Matrice inverse

Matrice inverse

 

Définition

 

Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$. On note $ I_n$ la matrice unité d’ordre $n$.

S’il existe une matrice $B$ tel que :

$A times B= B times A= I_n$,

Alors $A$ est inversible et sa matrice inverse est $B=A^{-1}$.

 

Propriété

 

 Soit $A =begin{pmatrix}
a & b \
c & d\
end{pmatrix}$ une matrice carré d’ordre $2$

Si $ad-bc neq 0$ alors $A$ est inversible et sa matrice inverse $A^{-1}$ vaut :

$A^{-1} =  displaystylefrac{1}{ad-bc} begin{pmatrix}
d & -b \
-c & a\
end{pmatrix}$

 

Exemple

Soit $M =begin{pmatrix}
2 & -1 \
3 & 1\
end{pmatrix}$. 

Vérifier que $M$ est inversible et déterminer sa matrice inverse.

Correction

On calcule : 

$ad-bc = 2 times 1 – (-1)times3 =5$

$ad-bc neq 0$   $M$ est donc inversible. 

Déterminons sa matrice inverse $M^{-1}$

On a:

$M^{-1} =  displaystylefrac{1}{5}begin{pmatrix}
1 & 1 \
-3 & 2\
end{pmatrix}$    $iff$    $M^{-1} = begin{pmatrix}
dfrac{1}{5} & dfrac{1}{5} \[0.5cm]
-dfrac{3}{5} & dfrac{2}{5}\
end{pmatrix}$.

On peut aisément vérifier que

$Mtimes M^{-1}=M^{-1}times M = I_{2}$