Modules et arguments

Module et argument

 

Module

On considère un nombre complexe $z=a+ib$ et on note $M$ le point du plan complexe d’affixe $z$.

 

On définit le module de $z$ (qu’on note $|z|$) par la distance du point $M$ au point d’origine $O$.

On a alors la formule suivante :

$|z|=OM =sqrt{a^2+b^2}$

 

Argument

On note $overrightarrow{u}$ le vecteur directeur de norme $1$ de l’axe des réels.

On définit alors l’argument d’un nombre complexe $z=a+ib$ (affixe du point $M$ dans le plan complexe) l’angle formé par le vecteur $overrightarrow{u}$ et le vecteur $overrightarrow{OM}$.

 

On écrit alors :

$ operatorname{arg} (z) = (overrightarrow{u}, overrightarrow{OM} ) ~ [2pi]$

En notant $theta = operatorname{arg}(z)~ [2pi]$ alors on a les égalités suivantes :

  • $cos(theta)=dfrac{a}{|z|}$
  • $sin(theta)=dfrac{b}{|z|}$

 

Illustration graphique

 --36

 

L’angle $theta$ est ici un argument de $z$ : $operatorname{arg}(z)=theta ~ [2pi]$.

 

Exemple

Calculer le module et un argument de $z_1=1+i$ et $z_2=4-4i$.

$z_1$ s’Ècrit : $z_1=a_1+ib_1$ avec $a_1=1$ et $b_1=1$ donc

$|z_1|=sqrt{a_1^2+b_1^2}= sqrt2$.

On note $operatorname{arg}(z_1)=theta_1 ~ [2pi]$.

On a :

$cos(theta_1)=dfrac{1}{sqrt2}=dfrac{sqrt2}{2}$ et $sin(theta_1)$

$cos(theta_1)= dfrac{1}{sqrt2}=dfrac{sqrt2}{2}$.

Conclusion : $theta_1=dfrac{pi}{4}~ [2pi]$.

 

$z_2$ s’écrit : $z_2=a_2+ib_2$ avec $a_2=4$ et $b_2=-4$ donc

$|z_2|=sqrt{a_2^2+b_2^2}=$

$|z_2|=sqrt{16+16}=4sqrt{2}$.

On note $operatorname{arg}(z_2)=theta_2 ~ [2pi]$.

On a :

  • $cos(theta_2)=dfrac{4}{4sqrt{2}}=dfrac{sqrt2}{2} $ 
  • $sin(theta_2)= dfrac{-4}{4sqrt{2}}=-dfrac{sqrt2}{2}$.

Conclusion : $theta_2=-dfrac{pi}{4}~ [2pi]$.

Modules et arguments- Exercice 1

Exercice

 

Soit ( z = 3 – 3isqrt{3} ). On cherche (left| z right|) et ( arg(z) ).

Étape 1 : On calcule le module de (z,) (left| z right|=sqrt{a^2+b^2}).

Étape 2 : On calcule le cosinus et le sinus de l’argument de z.

Étape 3 : On s’aide d’un cercle trigonométrique pour retrouver la valeur de l’argument à partir de son cosinus et de son sinus.

Modules et arguments- Exercice 2

Exercice

 

Calculons le module et l’argument de ( Z = (1 + i)^7 )

Étape 1 : On pose ( z = 1 + i) pour calculer son module et son argument.

Étape 2 : On calcule le module de z, (left| z right| = sqrt{a^2+b^2}).

Étape 3 : On calcule le cosinus et le sinus de l’argument de z.

Étape 4 : On s’aide d’un cercle trigonométrique pour retrouver la valeur de l’argument à partir de son cosinus et de son sinus.

Étape 5 : D’après le cours, ( left| z^7 right| = left| z right|^7 ).

Étape 6 : On utilise la formule du cours ( arg(z^7) = 7 times arg(z) ).

Propriétés des modules et arguments

Propriétés des modules et arguments

 

Module

Soient $z$ et $z’$ deux nombres complexes (avec $z’$ non nul).

On a les propriétés suivantes :

 

$bullet $ $|ztimes z’|=|z|times |z’| $

 

$bullet $ $ |z^n|=|z|^n$ pour $nin mathbb{N}$

 

$bullet$ $left| dfrac{z}{z’}right| = dfrac{|z|}{|z’|}$ si $z’neq 0$

 

$bullet$ $|z+z’| leqslant |z|+|z’|$

 

Argument

Soient $z$ et $z’$ deux nombres complexes (avec $z’$ non nul).

On a les propriétés suivantes :

 

$bullet $ $ arg(ztimes z’)=arg(z)+arg(z’) ~ [2pi]$

 

$bullet $ $ arg(z^n)=ntimes arg(z) ~ [2pi]$ pour $nin mathbb{N}$

 

$bullet$ $ argbigg(dfrac{z}{z’}bigg) = arg(z)-arg(z’) ~ [2pi]$

 

Exemple

Soient $a=1+i$ et $b=2i$ deux nombres complexes.

Calculer le module de $a^4$ ainsi qu’un argument de $dfrac{a}{b}$.

 

D’après les propriétés du module on a : $|a^4|=|a|^4$ donc on calcule $|a|=sqrt{1^2+1^2}=sqrt2$.

Finalement : $|a^4|=|a|^4=sqrt2^4= 4$.

D’après les propriétés des arguments, on a : $argleft(dfrac{a}{b} right)= arg(a)-arg(b)~ [2pi]$.

Ici, on a : $a={sqrt2}left(dfrac{sqrt2}{2}+idfrac{sqrt2}{2}right)$ donc $arg(a)=dfrac{pi}{4}~ [2pi]$.

De plus, comme $b$ est un imaginaire pur, $arg(b)=dfrac{pi}{2}~ [2pi]$.

On en déduit que $argleft(dfrac{a}{b} right)=dfrac{pi}{4}-dfrac{pi}{2}~ [2pi]$.

Finalement : $argleft(dfrac{a}{b} right)= -dfrac{pi}{4} ~ [2pi]$