Nombres complexes et géométrie

Nombres complexes et vecteurs

Nombres complexes et vecteurs

 

Distances et vecteurs

On considére deux points $A$($z_A$) et $B$($z_B$) du plan complexe $left(O;overrightarrow{u};overrightarrow{v}right)$.

Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour affixe :

$z_I=dfrac{z_A+z_B}{2}$.

 

Le vecteur $overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$.

 

Il en résulte donc que la distance $AB$ vaut :

$AB=|z_B-z_A|$.

 

Angles et arguments

Soient $A(z_A)$, $B(z_B)$, $C(z_C)$ et $D(z_D)$ quatre points du plan complexe $left(O;overrightarrow{u};overrightarrow{v}right)$.

On a les résultats suivants :

$ boxed{ arg(z_B-z_A)=(overrightarrow{u},overrightarrow{AB}) ~ [2pi]}$

--38

 

$boxed{ argbigg(dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}bigg) = (overrightarrow{AB},overrightarrow{CD}) ~ [2pi]}$

--39

Exemple

On donne les quatre points suivants :

$A(0,0)$, $B(dfrac{sqrt3}{2},dfrac12)$, $C(dfrac12,-dfrac12)$ et $D(1,-dfrac12)$.

Calculer une mesure de l’angle $(overrightarrow{AB},overrightarrow{CD})$.

On commence par donner l’affixe des quatre points :

  • $ z_A=0$
  • $z_B=dfrac{sqrt3}{2}+dfrac12 i$
  • $z_C=dfrac12-dfrac12 i$
  • $z_D=1-dfrac12 i$

 

On a alors :

$dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = dfrac{(1-dfrac12 i)-(dfrac12-dfrac12 i)}{(dfrac{sqrt3}{2}+dfrac12 i)-(0)} $

$dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = dfrac{dfrac12}{dfrac{sqrt3}{2}+dfrac12 i}$.

En simplifiant par $2$ puis en multipliant par la quantité conjuguée, on a : 

$dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}=dfrac{sqrt3-i}{4} $

$dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = dfrac{1}{2}times left( dfrac{sqrt3}{2}-dfrac12 iright)$

En utilisant les méthodes précédentes, on montre facilement que :

$argleft( dfrac{sqrt3}{2}-dfrac12 iright) = -dfrac{pi}{6} ~ [2pi] $.

On trouve donc :

$argbigg(dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}bigg) = -dfrac{pi}{6} ~ [2pi] $.

Conclusion :

Comme

$argbigg(dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}bigg) = (overrightarrow{AB},overrightarrow{CD}) ~ [2pi]$,

on a donc : 

$(overrightarrow{AB},overrightarrow{CD})=-dfrac{pi}{6} ~ [2pi]$

 

Argument et angle formé par deux vecteurs

A savoir par coeur :

Soient (A(z_A), B(z_B), C(z_C), D(z_D)) quatre points d’un plan complexe.

(arg left(dfrac{z_D – z_C}{z_B – z_A}right) = (overrightarrow{AB} ; overrightarrow{CD}) [2pi])

Ainsi ( arg left(dfrac{z_D – z_C}{z_B – z_A}right)) est égal à l’angle formé entre les vecteurs (overrightarrow{AB}) et (overrightarrow{CD}) modulo (2pi).