Les nombres premiers

Les nombres premiers

 

Définition

Soit $n$ un nombre entier supérieur ou égal à 2.

$n$ est premier si et seulement si $n$ admet deux diviseurs : 1 et lui-même.

 

Théorème

Tout $nin mathbb{N}$ avec $ngeq 2$ admet au moins un diviseur premier.

Si $n$ n’est pas premier et $ngeq 2$ alors il admet un diviseur premier compris entre 2 et $sqrt{n}$

 

Décomposition en facteurs premiers

 

Théorème

Tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de nombres premiers.

Cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.

$;n=p_1^{alpha_1}times p_2^{alpha_2}times ……… p_r^{alpha_r};$   

Avec  ${p_i}, {i in {1;r}}$ sont des nombres premiers distincts et $alpha_i, {i in {1;r}}$ des entiers.

 

Exemple

On décompose 96 en produit de facteurs premiers :

étape 1 : On cherche à diviser 96 par un nombre premier.

étape 2 : On commence par le plus simple, à savoir 2.

étape 3 : On continue tant qu’on peut diviser par 2 ou par les entiers premiers suivants.

étape 4 : On s’arrête lorsque le reste vaut 1.

étape 5 : On peut donc réécrire 96 comme une décomposition de facteurs premiers :

$96=2^5 times 3$

Les nombres premiers - Exercice

Exercice

 

Décomposons 96 en facteurs premiers :

Étape 1 : On cherche par quels nombres premiers on peut diviser 96.

Étape 2 : On commence par le plus simple, à savoir 2.

Étape 3 : On continue tant qu’on peut par diviser par 2.

Étape 4 : On s’arrête une fois que le reste vaut 1.

Étape 5 : On peut donc réécrire 96 comme une décomposition en facteurs premiers.