Orthogonalité, projection orthogonale

Projection orthogonale

Projection orthogonale dans l’espace

 

Sur un plan : définition

 

Le projeté d’un point (A) sur un plan est le point (H) du plan tel que (overrightarrow{AH}) est orthogonal au plan.

projection-orthogonale-plan

 

Sur une droite : définition

Le projeté orthogonal d’un point (A) sur une droite (Delta) est le point (H) vérifiant :

( left{ \begin{array}{ll} H \in \Delta \ \overrightarrow{AH} . \overrightarrow{u} = 0 \end{array} right. )

où (overrightarrow{u}) est un vecteur directeur de la droite (Delta).

projection-orthogonale-droite

Projeté orthogonal d'un point (démonstration)

Orthogonalité

Orthogonalité

 

I) Orthogonalité de deux droites dans l’espace

 

Propriété :

Soient $(D)$ et $(D’)$ deux droites de vecteurs directeurs $overrightarrow{d}$ et $overrightarrow{d’}$,

$(D)$ est orthogonale à $(D’)$ si et seulement si :

$overrightarrow{d}.overrightarrow{d’}=0$

 

Remarque :

Dans l’espace, on utilise le terme orthogonal lorsque le produit scalaire de deux droites est nul.

Le terme perpendiculaire est utilisé lorsque deux droites sont orthogonales et sécantes, c’est à dire qu’elles sont orthogonales et coplanaires.

 

Exemple :

On considère deux droites $(D)$ et $(D’)$ de représentations paramétriques : 

$(D)left \{ \begin{array}{l} x = 1 – 3t \ y = 2t \ z = 4 – t \end{array} right. (t \in mathbb{R})$  

et $(D’)left \{ \begin{array}{l} x = t \ y = 2+ 2t \ z = -5t – 1 \end{array} right. (t \in mathbb{R})$

$(D)$ et $(D’)$ sont-elles orthogonales ?

 

La première étape consiste à déterminer les vecteurs directeurs des deux droites.

Pour rappel, il s’agit des coefficients multiplicateurs de la variable, (ici c’est le réel $t$).

Ainsi, $overrightarrow{d} \left ( \begin{array}{c} -3 \ 2 \ -1 \end{array} \right )$ et $overrightarrow{d’} \left ( \begin{array}{c} 1 \ 2 \ -5 \end{array} \right )$.

Il s’agit ensuite de calculer leur produit scalaire, qui vaut la somme des produits des coordonnées :

$overrightarrow{d}.overrightarrow{d’}= -3 + 4 + 5 = 6 \neq 0$.

Finalement, $(D)$ et $(D’)$ \ne sont pas orthogonales.

 

II) Orthogonalité d’une droite et d’un plan

 

Propriété :

 

Soit $(D)$ une droite de vecteur directeur $overrightarrow{d}$ et $mathcal{P}$ un plan dirigé par un couple de vecteur $(overrightarrow{u}, overrightarrow{v})$ non colinéaires et de vecteur normale $overrightarrow{n}$.

$(D)$ est orthogonale à $mathcal{P}$ si et seulement si :

  • $overrightarrow{d}.overrightarrow{u} = 0$ ET
  • $overrightarrow{d}.overrightarrow{v} = 0$, car lorsqu’une droite est orthogonale à deux droites d’un plan, elle est orthogonale à toute droite du plan

OU

  • $overrightarrow{d}$ et $overrightarrow{n}$ sont colinéaires.

orthogonalite

Exemple :

Soit $mathcal{P}$ un plan d’équation cartésienne $2x -3y + 4z – 2 = 0$ et $(D)$ de représentation paramétrique

$(D)left \{ \begin{array}{l} x = -2-4t \ y = 12 + 6t \ z = -8 t \end{array} right. (t \in mathbb{R})$

$(D)$ est-elle orthogonale au plan $mathcal{P}$ ?

On peut aisément trouver le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan :

$overrightarrow{d} \left ( \begin{array}{c} -4 \ 6 \ -8 \end{array} \right )$ et $overrightarrow{n} \left ( \begin{array}{c} 2 \ -3 \ 4 \end{array} \right )$.

On peut alors remarquer que $overrightarrow{d} = -2overrightarrow{n}$, c’est à dire que $overrightarrow{d}$ et $overrightarrow{n}$ sont colinéaires.

Ainsi $(D)$ est orthogonale au plan $mathcal{P}$.