Parallélogrammes particuliers

Parallélogrammes particuliers 

 

I) Le rectangle

 

Pour démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle, on peut d’abord montrer qu’il s’agit d’un parallélogramme (ou alors l’énoncé indique qu’il s’agit d’un parallélogramme) puis montrer que : 

– soit il possède un angle droit

– soit ses diagonales sont de même longueur

Exemple :

On sait que le quadrilatère $LINO$ est un parallélogramme.

On suppose tout d’abord que $\widehat{LIN} = 90°$. 
Ainsi, $LINO$ est un rectangle.

On suppose maintenant que $LN=IO$. Or $[LN]$ et $[IO]$ sont les diagonales du parallélogramme.

$ABCD$ est donc un rectangle. 

 

II) Le losange 

 

Si un parallélogramme possède :

– deux côtés consécutifs de même longueur 

OU BIEN

– des diagonales perpendiculaires 

alors ce parallélogramme est un losange 

 

Exemple : 

Soit $VERT$ un parallélogramme,

on suppose tout d’abord que $ER=RT$. Comme il s’agit de deux côtés consécutifs et qu’ils sont égaux, $VERT$ est un losange. 

On suppose à présent que $(VR) \perp (TE)$. Or $[VR]$ et $[TE]$ sont les diagonales du parallélogramme, et sont perpendiculaires. 

$VERT$ est donc un losange. 

 

III) Le carré

 

Un carré est à la fois un rectangle et un losange.

Pour démontrer qu’un parallélogramme est un carré, il faudra suivre deux étapes.

La première consiste à montrer qu’il s’agit d’un rectangle en utilisant l’une des deux propriétés puis montrer qu’il s’agit d’un losange en utilisant l’une des deux propriétés.