Cours Stage - Valeur absolue
Exercice d'application

Exercice : Valeur absolue

On cherche à exprimer $f$, définie ci-après sur $\mathbb{R}$, sans valeur absolue : $f(x) = \vert 3-x \vert + \vert 2x+4 \vert$.

1) Exprimer $\vert 3 -x \vert$ puis $\vert 2x + 4 \vert$ sans valeur absolue selon les valeurs de $x$.

2) En déduire l'expression de $f(x)$ sans valeur absolue à l'aide d'un tableau.

1) Étape 1 :

Expression de $\vert 3 - x \vert$ sans valeur absolue : 

$\vert 3 -x \vert = \quad 3-x \quad $si $\quad 3-x \ge 0$

$\qquad \qquad -(3-x) \quad $si $\quad 3-x < 0$

 

Ce qui équivaut à :

$\vert 3-x \vert = \quad 3-x \quad $si$\quad x \le 3$

$\qquad \qquad -3+x \quad $si$ \quad x > 3$

 

Étape 2 :

Expression de $\vert 2x + 4 \vert$ sans valeur absolue :

$\vert 2x + 4 \vert = \quad 2x + 4 \quad $si$ \quad 2x + 4 \ge 0$

$\qquad \qquad -(2x + 4) \quad $si$ \quad 2x+ 4 < 0$

 

Ce qui vaut à :

$\vert 2x + 4 \vert = \quad 2x + 4 \quad $si$\quad x \ge -2$

$\qquad \qquad -2x -4 \quad $si$\quad x < -2$

 

2) Pour exprimer $f(x)$ sans valeur absolue, on reporte dans un tableau les expressions de $\vert 3-x \vert$ et de $\vert 2x + 4 \vert$ sans valeur absolue, et on somme chaque colonne : 

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