Cours Fonction cube
Exercice d'application

Exercice : Fonction cube

Une mine produit $x$ kg d’un minerai par jour, $x \in [0;10]$ ($x$ varie selon les jours), 
le coût total d’extraction de ces $x$ kg est donné par :

$C(x) = x^3$ où C est en euros.


Chaque kg est vendu $81$ euros, soit pour $x$ kg vendus, une recette de $R(x) = 81 \times x$ euros.


Le bénéfice associé à la fabrication et à la vente de $x$ kg est donné par $B(x) = R(x) − C(x)$.

1) Détailler les calculs de $C(5)$, $R(5)$, $B(5)$ et en déduire si une production de 5 kg est rentable.


2) Justifier si une production de 10 kg est rentable.

3) Compléter le tableau de valeurs puis construire les courbes des fonctions $C$ et $R$ dans le repère donné.

$x$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$C(x)=x^3$                      
$R(x)=81x$                      

 

4) Déterminer graphiquement et algébriquement à $0,1$ kg près, la production qui assure une recette de $400$ euros, en déduire le bénéfice réalisé à l’euro près.

5) Déterminer graphiquement et algébriquement à $0,1$ kg près, la production qui assure un coût d’au moins $500$ euros.

6) Déterminer graphiquement l’intervalle des productions qui assurent un bénéfice positif. Montrer que $B(x) = x(9 − x)(9 + x)$ et retrouver algébriquement l’intervalle précédent.

7) Déterminer graphiquement la production qui assure un bénéfice maximal. 

8) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant puis construire la courbe de $B$ dans le repère précédent.

$x$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$B(x)$                      

 Construire les tableaux de signes et de variations puis les extremums de $B$ pour $x \in [0;10]$

(Estimer la production optimale à la calculatrice à 0,1 près.)

9) 
Ces résultats sont-ils cohérents avec les résultats des questions 6 et 7 ? 


10) Calculer le bénéfice mensuel (30 jours) pour la production optimale.

1) $C(5) = 5^3 = 125$ euros

$R(5) = 81 \times 5 = 405$ euros

$B(5) = R(5) - C(5) = 405 - 125$ = 280 euros

Donc une production de $5$ kg est rentable car la recette est supérieure au coût ($405$ > $125$) ou bien car le bénéfice est positif ($280$ > $0$).

 

2) $C(10) = 10^3 = 1000$ euros

$R(10) = 81 \times 10 = 810$ euros

$B(10) = R(10) - C(10) = 810 - 1000 = - 190$ euros

Donc une production de $10$ kg n’est pas rentable
 car la recette est inférieure au coût ($810$ < $1000$)

Ou bien car le bénéfice est négatif ($−190$ < $0$).

 

3) Tableau de valeurs et courbes des fonctions $C$ et $R$ dans le repère donné :

$x$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$C(x) = x^3$  0   1   8   27  64 125 216 343 512 729 1000
$R(x) = 81 x$ 0         405         810

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4) Graphiquement : $R(x) = 400$ lorsque $x \approx 5$

Algébriquement : $R(x) = 400$, équivaut à $81x = 400$, soit : $x= \frac{400}{81} \approx 4,9$

Ainsi la recette vaut $400$ euros pour $x \approx 4,9 kg$.

$B(4,9) = R(4,9) - C(4,9) = 400 - 4,9^3 \approx 282$

Soit $282$ euros de bénéfice réalisé à l'euro près.

 

5) Graphiquement : $C(x)$ > $500$ lorsque $x$ > $7,9$.

Algébriquement : $C(x)$ > $500$ équivaut à  $x^3$ > $500$

Soit $x$ > $\sqrt[3]{80} \approx 7,9$, donc le coût vaut au moins $500$ euros pour $x$ > $7,9$ kg.

 

6) Graphiquement : le bénéfice est strictement positif  si la recette est strictement supérieure au coût.

Soit : $B(x)$ > $0$ lorsque $R(x)$ > $C(x)$ ; c'est à dire lorsque $x \in ]0;9[$.

L'intervalle de rentabilité des productions qui assurent un bénéfice positif est donc ]0;9[.

Algébriquement : $B(x) = R(x) - C(x) = 81x - x^3 = x(81-x^2) = x(9^2-x^2) = x(9-x)(9+x)$.

Il suffit d'étudier le signe de $x(9-x)(9+x)$ dans un tableau de signes pour $x \in [0;10]$.

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Conclusion : $B(x) > 0$ lorsque $x \in ]0;9[$ (cohérent avec le résultat graphique).

 

7) Graphiquement la production qui assure un bénéfice maximal est $x \approx 5.2$

En effet, en ce point, l'écart est maximal entre les courbes de $R$ et $C$ dans l'intervalle de rentabilité.

 

8) La courbe de B est construite dans le repère ci-dessus.

$x$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$B(x) = 81x - x^3$  0  80 154 216 260 280 270 224 136  0  -190

-433

 -434

9) Extremums de B(x) pour $x \in [0;10]$ : le minimum vaut $-190$ pour $x=10$ et le maximum vaut $\approx 280.59$ pour $x \approx 5.2$.

En effet, la calculatrice donne : 

$x$ 5.1 5.2 5.3
$B(x)$ 280.45 280.59 280.42

Ces résultats sont cohérents avec les résultats des questions précédentes.

 

10) Le bénéfice mensuel (30 jours) pour la production optimale est : $B_m = 280,59 \times 30 = 8417,7$ euros.