Cours Stage - Signe de la dérivée et variations
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L'énoncé

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Question 1

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\)

$f$ est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :

\(f '(x) = 6x - 2\)
\(f '(x) = 2x - 1\)
$f'(x) = 6x$
$f'(x)=3x-2$
\( f\) est un polynôme donc sa dérivée est …
Quel est le signe d'une fonction affine sur \(\mathbb{R}\) ?
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(x\) de \(\mathbb{R} ,\ f '(x) = 2 \times3x – 2\) soit \(f '(x) = 6x – 2\).
\( f '(x)\) est une fonction affine qui s'annule pour \(x = \dfrac{1}{3}\).

Question 2

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2\} \) par \(f(x) =\dfrac{3x-1}{x + 2}\) et dérivable sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}.\)

\(f '(x) = \dfrac{7}{(x+2)^2}\)
\(f '(x) = \dfrac{-7}{(x+2)^2}\)
\(f\) est croissante sur \( ] –\infty ; -2[ \) et sur \(] -2 ; +\infty[\)
\(f\) est décroissante sur \( ] –\infty ; -2[ \) et sur \(] -2 ; +\infty[\)
\(f\) est-elle un quotient ? Un produit ?
Quelle formule doit-on alors utiliser pour le calcul de \(f '(x)\) ?
Quel est le signe de cette dérivée ?
\(f = \dfrac{u}{v}\) avec :
\(u(x) = 3x – 1\) et \(v(x) = x + 2\)
\(u '(x) = 3 \) et \(v '(x) = 1\)
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) et \(f ' = \dfrac{u'v – uv'}{v^2}\) donc :
Pour tout \(x\) de \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\), \(f '(x) = \dfrac{3x + 6 – 3x + 1}{(x + 2)^2}\)
\(f '(x) = \dfrac{7}{(x + 2)^2}\)
Pour tout \(x\) de \(\mathbb{R} \setminus \{2\} : 7 > 0\) et \( (x+2)^2 > 0\) donc \(f '(x) > 0\) et \( f\) est croissante sur \( ]–\infty;-2[\) et sur \( ]-2;+\infty[\).

Question 3

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = x^3 + 3x^2- 9x + 1\).

\(f '\) admet deux racines.
\(f\) est croissante sur \(]–\infty; -3]\)
\(f '(x) > 0\) sur \([ - 3 ; 1]\)
\(f\) est décroissante sur \([–3;1]\)
Les racines de \(f '\) sont les valeurs pour lesquelles \(f '(x) = 0\).
Quelle est l'expression de \(f '(x)\) ? Son signe ?
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) : \( f '(x) = 3x^2 + 6x – 9\)
Pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) : \(f '(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 + 6x – 9 = 0\)

Le discriminant de ce polynôme vaut \(\Delta = 144\)
\(\Delta > 0\) donc l'équation \(f '(x) = 0\) admet deux solutions : \(x_1 = - 3\) et \(x_2 = 1\)

De plus :
Sur \(]-\infty; -3]\) et \([1; +\infty[\), \(f '(x) \geq 0\) (car du signe de \(a = 3\)) et \(f\) est croissante.
Sur \([-3;1], f '(x)\leq 0 \) et \(f\) est décroissante.

Question 4

Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) et telle que \(f ' (x) = - 2x^2 + 6x + 20\)

\(f\) est croissante sur \([-2 ; 5]\).
\(f\) admet un maximum en \(5\).
\(f\) admet un maximum local en \(5\).
\(f\) est décroissante sur \([- 2;5]\).
Attention : on donne l'expression de \(f '(x)\) !
Quel est son signe ?
Dresser le tableau de variation de \(f\) pour déterminer son maximum et son minimum sur \(\mathbb{R}\) (s'il(s) existe(nt)) puis sur des intervalles restreints.
Pour tout réel \(x\) , \(f ' (x) = - 2x^2 + 6x + 20\)
Le discriminant de ce polynôme vaut : \(\Delta = 196\)
\(\Delta > 0\) donc \(f '(x)\) admet deux racines :
\(x_1 = - 2\) et \(x_2 = 5\)

La proposition 1 est donc vraie.
En \(x =5\), \(f\) n'admet pas de maximum absolu mais admet un maximum local.
Cela signifie que sur l'intervalle \( [-2;+\infty[ \), \(f\) admet un maximum en \(5\) mais pas sur \(\mathbb{R}\).

Question 5

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \dfrac{1}{4}x^4 + x^3 +4x + 1\)

\(f '(x) = (x + 1)(x – 2)^2\)
\(f '(x) = (x - 1)(x + 1)^2\)
\(f\) est décroissante sur \(]-\infty ; -1[\)
\(f\) est décroissante sur \(]-1 ; 2[\)
Calculer \(f '(x)\).
On peut développer les expressions proposées pour déterminer celles qui sont égales à \(f '(x)\).
Quel est le signe de \(f '(x)\) ?
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout x de \(\mathbb{R}\), \( f '(x) = x^3 + 3x^2 +4\)

Pour tout x de \(\mathbb{R}\),
\((x + 1)(x – 2)^2 = (x + 1)(x^2 – 4x + 4)\)
\(\Leftrightarrow(x + 1)(x – 2)^2 = x^3 – 4x^2 + 4x + x^2 – 4x + 4\)
\(\Leftrightarrow(x + 1)(x – 2)^2 = x^3 – 3x^2 + 4\)
\(\Leftrightarrow(x + 1)(x – 2)^2 = f '(x) \) (Proposition 1 vraie.)

Étudions le signe de :
\( f '(x) = (x + 1)(x – 2)^2\)
Pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), \((x – 2)^2 \geq 0 \) donc f '(x) est du signe de \((x + 1)\).
Sur \(]-\infty; - 1[, (x + 1) < 0\) donc \(f '(x) < 0\) et \(f\) est décroissante. (Proposition 3 vraie.)
Sur \(]- 1; +\infty[, (x + 1) > 0\) donc \(f '(x) > 0\) et \(f\) est croissante.