Cours Stage - Signe de la dérivée et variations
Exercice d'application

Exercice : Fonctions

La courbe $C_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur $I = ] 1 ; + \infty[$

 

1) A) Lire les valeurs de $f(2)$, $f(3)$ et $f(9)$

B) Par lecture graphique, donner une valeur approchée des solutions de l'équation $f(x) = 0$

C) Déterminer le signe de $f$ sur $I$

 

2) A) Que vaut $f'(5)$ ? Justifier.

B) Donner une équation de la droite $(T)$,tangente à la courbe au point d'abscisse $3$. Quel nombre dérivé peut-on en déduire ?

C) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $I$.

 

3) $f$ est de la forme $f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x-1}$

A) Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et de $c$

B) Exprimer que $A$ et $B$ sont des points de $C_f$ et qu'en $S$ la tangente est horizontale.

C) En déduire un système d'inconnues $a$, $b$ et $c$ puis le résoudre pour trouver l'expression de $f(x)$

 

4) On admet que $f(x) = x - 10 + \dfrac{16}{x-1}$

A) Déterminer l'équation de la tangente à $C-f$ au point d'abscisse $2$/

B) Résoudre par le calcul l'équation $f(x) = 0$ et retrouver le résultat de la question 1) B).

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1) A) $f(2) = 8$

$f(3) = 1$

$f(9) = 1$

B) $f(x)$ = 0 lorsque $x = 3,5$ ou $x = 7,5$ environ.

C) $f$ est positive sur $[1 ; 3,5] \cup [7,5 ; + \infty [$ $f$ est positive, sur $[3,5 ; 7,5] f$ est négative.

 

2) A) $f'(5)$ vaut $0$ car la tangente à la courbe de $f$ en $5$ est horizontale.

 B) $(T)$ d'équation $y=ax+b$ passe par $(1 ; 7)$ et par $(3 ; 1)$ donc on en déduit :

$\left \{ \begin{array}{lll} {7=a+b \\1=3a+b} \end{array} \right.$

 On résout le système et on obtient  $a=-3$ et $b=10$

Ainsi, $T(x) : y = -3x + 10$

Comme $(T)$ est tangent à la courbe au point $(3 ; 1)$, on a $f'(3) = -3$, coefficient directeur de $(T)$.

 

C) 

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3) A) $f' (x) = a - \dfrac{c}{(x-1)^2}$

B) $f(2) = 8$ donc $2a + b + c = 8 $

$f(9) = 1$ donc $9a + b + \dfrac{c}{8} =1$

$f'(5) = 0$ donc $a-\dfrac{c}{16} = 0$

C) $\left \{ \begin{array}{lll} {2a + b + c = 8 \\ 72a + 8b + c = 8 \\ 16 a - c = 0 } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lll} {18a + b = 8 \\ 88a + 8b = 8 \\ 16 a = c} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{lll}{18a + b =8 \\11a +b = 1 \\16a =c} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} {a=1 \\ b = -10 \\c =16} \end{array} \right.$

 

4) $f(x) = x - 10 + \dfrac{16}{x-1}$

A) $f'(x) = 1 - \dfrac{16}{(x-1)^2} \Rightarrow f'(2) = 1 - \dfrac{16}{1} = -15$

et $f(2) = -8 + 16 = 8$

La tangente a pour équation $y=-15 (x-2) + 8 = -15x + 38$

B) $f(x) = \dfrac{(x-10)(x-1) + 16}{x-1} = \dfrac{x^2 - 11x + 26}{x-1}$ 

$\Delta = 121 - 104 = 17$

$x_1 = \dfrac{11-\sqrt{17}}{2} \approx 3,5$

$x_1 = \dfrac{11 + \sqrt{17}}{2} \approx 7,5$