Cours Stage - Variations des fonctions associées
QCM
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L'énoncé

Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.


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Question 1

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont strictement décroissantes sur \(]5 ; +\infty[\) ?

\(f(x) = \sqrt x -2\)

\( g(x) =\dfrac{1}{3-2x}\)

\(h(x) = \sqrt{4-x} \)

\(i(x) = \dfrac{5}{x}\)

Vous devez connaître les variations des fonctions de références (inverse, racine, carré, affine).


Pour chaque fonction proposée, déterminer si elle est du type \(k + u, \lambda u, \dfrac{1}{u} \) ou \(\sqrt u \) puis appliquer le cours.

\(i(x) = 5\times\dfrac{1}{x}\) donc \(i\) est du type \(\lambda u\) avec \(\lambda = 5\) et \( u(x) = \dfrac{1}{x}\)
\(\lambda > 0\); comme \(u\) est décroissante sur \(]0 ; +\infty[\) alors \(i\) l' est aussi.


\(f(x) = \sqrt x -2\) est du type \(u +k\) avec \(u(x) = \sqrt x\) donc \(g\) a les mêmes variations que \(u\) et sur \(]5;+\infty[ \;f \) est croissante.


\( g(x) =\dfrac{1}{3-2x}\) est du type \(\dfrac{1}{u}\) avec \(u(x) =3-2x\). Comme \(u\) est décroissante sur \(]5 ; +\infty[\) alors \(g\) est croissante sur cet intervalle.


\(h(x) = \sqrt{4-x} \) est du type \(\sqrt{u}\) mais attention elle n’est pas définie sur \(]5 ; +\infty[\) (pas d’étude de variation du coup…) !

Question 2

La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 7| x | + 4 \) est :

Décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Déroissante sur \(]- \infty;0]\).

Croissante sur \([ 0 ; + \infty[\).

Croissante sur \(]- \infty;0]\).

Déterminer si \(f\)du type : \(k+u, \lambda u,\dfrac{1}{u} \) ou \(\sqrt u\) puis appliquer le cours.


Attention on peut avoir \(\lambda u\) puis \(k + u\),

\(x \longmapsto | x | \) est croissante sur \([0 ; +\infty[\)


\(x \longmapsto7| x | \) est donc croissante sur\([ 0 ; + \infty[\) (car du type \(\lambda u \) avec \(\lambda = 7 > 0\))


\(x \longmapsto 7| x |+4 \) est donc croissante sur \([0 ; +\infty[ \) (car du type \(k + u) \) On démontrerait de même que \(f \) est décroissante sur \( ]–\infty ; 0] \)


On démontrerait de même que \(f \) est décroissante sur \( ]–\infty ; 0] \).

Question 3

La fonction \(f\) définie par \(f(x) = \sqrt{-3x^2-3x + 6}\) a pour ensemble de définition :

\(\mathscr{D_f}=[ - 2 ;1]\)

\(\mathscr{D_f}= ] –\infty; - 2]\cup [1 ; +\infty[\)

\(\mathscr{D_f}= \mathbb{R}\backslash \{-2,1 \}\)

\(\mathscr{D_f}= ] – 2 ; 1[\)

Une fonction du type \(\sqrt u\) est définie à condition que \(u(x)\geq 0\)


Résoudre alors l'inéquation \(-3x^2 – 3x + 6\geq 0\)


C'est une inéquation du second degré !

\(f\)est définie \(\Leftrightarrow -3x^2 – 3x + 6\geq 0\)


On a \(\Delta = 81 > 0\) donc le polynôme admet deux racines : \(1\) et \(-2\)


Le polynôme est donc positif (car du signe opposé de \(a = - 3\)) entre les racines donc sur \( [ - 2 ; 1]\).

Question 4

La fonction \(f\) définie sur \(\mathscr{D_f}\ = [ 2 ; 1] \) définie par \( f(x) = \sqrt{-3x^2 - 3x + 6}\) est :

Décroissante sur \(\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[\).

Décroissante sur \(\left[-\dfrac{1}{2};1\right]\).

Croissante sur \(\left]-\dfrac{1}{2};+ \infty\right[\).

Croissante sur \(\left[-2; -\dfrac{1}{2}\right]\).

Détermine si \(f\) du type : \(k + u, \lambda u, \dfrac{1}{u}\) ou \(\sqrt u \) puis applique ton cours.


Attention on peut avoir \(k + u\) puis \(\sqrt{k + u}\)


Attention à l'ensemble de définition de \(f\).

\(x \longmapsto -3x^2 – 3x + 6 \) est une fonction du second degré. La parabole qui la représente est tournée vers le bas (car \(a = - 3\)).
Le sommet de cette parabole est atteint pour : \(x = \frac{-b}{2a}=\frac{3}{-6}=-\frac{1}{2}\)


\(x \longmapsto -3x^2 – 3x + 6\) est croissante sur \(]-\infty;-\frac{1}{2}[\) (car du type \(k + u\)) donc sur \(]-2;-\frac{1}{2}[\)


\(x \longmapsto -3x^2 – 3x + 6\) est croissante sur \(]-2;-\frac{1}{2}[\) (car du type \(\sqrt u\))
On démontrerait de même que \(f\) est décroissante sur \(] -\frac{1}{2}; 1]\)


On démontrerait de même que \(f\) est décroissante sur \(] -\frac{1}{2}; 1]\).

Question 5

La fonction \(g\) définie par \(g(x) = \dfrac{1}{6 - 2x}\) :

A pour ensemble de définition \(\mathscr{D_g} = \mathbb{R}\backslash \{3 \}\).

A pour ensemble de définition \(\mathscr{D_g} = \mathbb{R^*} \).

Est décroissante sur \(]- \infty;3[\).

Est croissante sur \(]3;+\infty[\).

\(g\) est définie pour \(6 - 2x \neq 0\)


Utiliser ensuite les fonctions associées pour trouver les variations de \(g\).

\(g\) est définie \(6 - 2x \neq 0\) donc pour \(x\neq 3\) et donc \(\mathscr{D_g} = \mathbb{R}\backslash \{3 \}= ] –\infty; 3[ \cup ]-3 ; +\infty[ \)


\(x\longmapsto 6 - 2x \) est une fonction affine; elle est décroissante sur \(\mathbb{R}\) et donc sur \( ] –\infty; 3[ \cup ]3 ; +\infty[ \)


\(g\) est donc croissante sur \( ] –\infty; 3[ \cup ]3 ; +\infty[\) car du type \(\large \frac{1}{ u }\)


Attention : \(g\) n'est pas croissante sur \( ] –\infty; 3[ \cup ]3 ; +\infty[\) mais elle l'est sur chaque intervalle.