Cours Stage - Variations des fonctions associées

Exercice - Variations des fonctions associées

L'énoncé

On considère la fonction \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(u(x) = 2x^2 – 4x - 30\)


Question 1

Dresser le tableau des variations de \(u\) sur \(\mathbb{R}\).

Les branches de la parabole associée à la fonction \(u\) sont tournées vers le haut (car \(a = 2\) et \(a > 0\)).

Son sommet a pour abscisse \(x = \dfrac{-b}{2a} = 1 \) et pour ordonnée \(u(1) = - 32\).

On a donc :

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\(u\) est un polynôme du second degré ; ses variations sont donc connues; pensez à l'allure de sa courbe.

Question 2

Dresser le tableau des variations de \(-3u\) sur \(\mathbb{R}\).

\(-3u\) est définie aussi sur \(\mathbb{R}\) ; comme \( 3 < 0\) les variations de la fonction \(-3u\) sont contraires à celle de \(u\).

De plus \(-3u(1) = -3\times( -32) = 96\)

On a donc :

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Utiliser les variations des fonctions associées.
Attention à la valeur des images.

Question 3

Dresser le tableau des variations de la fonction \( \dfrac{1}{u}\) sur son ensemble de définition.

\( \dfrac{1}{u}\) est définie pour \(u(x)\neq 0\) .

\(u\) est un polynôme du second degré qui a deux racines \(-3\) et \(5\) ; il s'annule donc en \(-3\) et \(5\).

Ainsi \(\dfrac{1}{u}\) est définie sur \(] \infty; -3[ \cup ] 3 ; 5[ \cup ]5; +\infty[\)

Les variations de la fonction \( \dfrac{1}{u}\) sont contraires à celles de \(u\).

On a donc :

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Quel est l'ensemble de définition de la fonction \( \dfrac{1}{u}\) ?
Utilisez les variations des fonctions associées.
Attention à la valeur des images.

Question 4

Dresser le tableau des variations de la fonction \(\sqrt{u}\) sur son ensemble de définition.

\(\sqrt{u}\) est définie pour \(u(x) \geq0\).

\(u\) est un polynôme du second degré qui a deux racines\(-3\) et \(5\) ; il est positif (soit du signe de \(a = 2\)) à l'extérieur des racines.

Ainsi \(\sqrt{u}\) est définie sur \(] \infty; -3] \cup [5; +\infty[\).

Les variations de la fonction \(\sqrt{u}\) sont les mêmes que celles de \(u\).

De plus \(\sqrt{u(-3)} = \sqrt{0} = 0\) et \(\sqrt{u(5)} = \sqrt{0} = 0\)

On a donc :

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Quel est l'ensemble de définition de la fonction \(\sqrt{u}\) ?
Utilisez les variations des fonctions associées.
Attention à la valeur des images.

Question 5

Dresser le tableau des variations de la fonction \(f\) définie par \(f(x) = -2\sqrt {u(x)} + 3\) sur l'intervalle \([5 ; 7]\).

\(\sqrt u \) est définie sur \(] \infty; -3]\cup [5; +\infty[ \) donc \( -2\sqrt {u(x)} + 3\) aussi et en particulier sur \([5 ; 7]\).

Les variations de la fonction \(f\) sont contraires à celles de \(u\).

De plus \(f(5) = -2\sqrt {u(5)} + 3 = 3\) et

\(f(7) = -2\sqrt {u(7)} + 3 = -2\sqrt 40 + 3\)


On a donc :

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Quel est l'ensemble de définition de la fonction \(\sqrt u \)? Et donc celui de \(f \) ?
Utilisez les variations des fonctions associées.
Attention à la valeur des images.

Question 6

Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x) = \dfrac{5}{u(x)}- 2 \).

Comparer l'image de \( 9 \) et celle de \( 4\).

Sur \([ - 9 ; - 4], \dfrac{1}{u(x) }\) est croissante (voir question 3.)

Donc, la fonction \(5 \times \dfrac{1}{u(x) }\) soit \( \dfrac{5}{u(x) }\) aussi.

Par conséquent \(g\) est croissante sur \([ - 9 ; - 4]\) et donc, comme \( 9 < - 4\) alors \(g(-9)< g(-4) \).

L'image de \(– 9 \) est \(g(– 9 )\) et celle de \(– 4 \), \(g(-4) \) !
Comparer les images c'est dire laquelle des deux est supérieure à l'autre ? Ou bien si elles sont égales.
Cherchez les variations de \(g\) sur \([ - 9 ; - 4]\) et utilisez les variations des fonctions associées pour déterminer les variations de \(g\).
\(g(x) = 5\times \dfrac{1}{u(x) } - 2 \)