Cours Stage - Vecteur normal à une droite
QCM
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L'énoncé

Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.


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Question 1

Soit \((d)\) la droite d'équation \(-4x + 6y = 0\). Un vecteur normal à \((d)\) est :
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -4 \\ 6\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 6 \\ -4\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 4 \\ 6\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -2 \\ 3\end{pmatrix}\)
Dans le cours on a donné pour équation cartésienne \(ax + by + c = 0\). Ici que valent \(a\), \(b\) et \(c\) ?
On a \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\)
Ici \(a = -4\), \(b = 6\) et \(c = 0\) et \(\overrightarrow{n}\) a pour coordonnées \((-4;6)\) ou encore en divisant chaques coordonnées par 2 \((-2;3).\)

Question 2

Soit \(A(-4;-2)\) et \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -1 \\ -3\end{pmatrix}\). Une équation de la droite \((d)\) passant par \(A\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) est :
\(2x + 3y + 10 = 0 \)
\( x + 3y + 10 =0 \)
\(-x – 3y + 10 = 0\)
\(-x – 3y - 10 = 0\)
\(M(x;y) \in (d) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{n} = 0\)
Quelles sont les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AM}\) ? Et de \(\overrightarrow{n}\) ?
Si besoin va revoir l'exemple 1 de la fiche de révision.
Il peut y avoir plusieurs réponses, une équation cartésienne et une réduite !
\(\begin{align*}M(x;y) \in (d) &\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n} = 0 \text{ avec } \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x+4 \\ y+2 \end{pmatrix}\\ & \Leftrightarrow -(x+4)+3(y+2)=0\\ & \Leftrightarrow -x - 3y – 10 \\ &\Leftrightarrow x + 3y + 10 = 0 \end{align*}\)

Question 3

Soient \((d_1)\) : \( -x + 2y + 1 = 0 \) et \((d_2)\) : \(3x - 6y + 2 = 0 \) deux droites. \((d_1)\) et \((d_2) \) sont :
Parallèles
Perpendiculaires
Sécantes
Confondues
\((d_1)\) et \((d_2)\) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
\((d_1)\) et \((d_2)\) sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
\((d_1)\) a pour vecteur normal \(\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\)
\((d_2)\) a pour vecteur normal \(\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{n_2}= 3\overrightarrow{n_1}\) donc \(\overrightarrow{n_1}\) et \(\overrightarrow{n_2}\) sont colinéaires.
Une équation de \((d_2)\) est (en divisant par \(– 3)\) : \(-x + 2y - \frac{2}{3} = 0\).
Les constantes (\(1\) pour \((d_1)\) et \(-\frac{2}{3}\) pour \((d_2)\) étant différentes les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) ne sont pas confondues.

Question 4

Soit \((d)\) la droite d'équation \(7x -6y + 1 = 0\).

Une équation de la droite \((d')\) passant par \(A(-2;4)\) et parallèle à \((d)\) est :

\(7x – 6y + 38 = 0\)

\(7x + 6y – 38 = 0\)

\(- 7x + 6y – 38 = 0\)

\( 6x - 7y – 7 = 0\)

Quel est un vecteur normal à \((d)\) ?


Quel est un vecteur normal à \((d')\) ?

\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 7 \\ -6\end{pmatrix}\) est normal à \((d)\)


\(M(x;y) \in (d') \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n} = 0 \) avec \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x+2 \\ y-4 \end{pmatrix}\)
\( \qquad\qquad\qquad\:\:\: \Leftrightarrow 7(x + 2) - 6(y - 4)=0\\ \qquad\qquad\qquad\:\:\Leftrightarrow 7x - 6 y + 38 = 0\\ \qquad\qquad\qquad\:\:\Leftrightarrow - 7x + 6 y - 38 = 0\)

Question 5

Soit \((d_1)\) la droite d'équation \(5x - 2y + 3 = 0\).

Une équation de la droite \((d_2)\) passant par \(A(-4;1)\) et perpendiculaire à \((d_1)\) est :

\(5y = 2x + 3\)

\(y =-\dfrac{2}{5}x – \dfrac{3}{5}\)

\(- 2x – 5y – 3 = 0 \)

\(2x + 5y + 3 = 0 \)

Un vecteur normal à \((d_1)\) est un vecteur directeur de \((d_2)\).


Quel est un vecteur normal à \((d_1)\) ?


Une équation cartésienne n'est pas unique !

\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}\) est normal à \((d_1)\) et est donc un vecteur directeur de \((d_2).\)


Pour \((d_2)\) on a : \(- b = 5\) et \(a = - 2\) soit \(b = - 5\) et \(a = - 2\)


Une équation cartésienne de \((d_2)\) est donc \(-2x – 5y + c = 0\)


Comme \(A(-4;1) \in (d_2)\) alors on obtient \((d_2)\) : \(-2x – 5y - 3 = 0\).
En multipliant cette équation par \(-1\) on obtient : \((d_2)\) : \( 2x + 5 y + 3 = 0\) soit finalement \(y =- \frac{2}{5}x – \frac{3}{5}\)