Cours Stage - Vecteur normal à une droite
QCM
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L'énoncé

Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.


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Question 1

Soit \((d)\) la droite d'équation \(x = 2\), \(\overrightarrow{n}\) un vecteur normal à \((d)\) et \(\overrightarrow{u}\) un vecteur directeur de \((d)\). Alors :
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Fais une figure.
Si \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) dirige la droite \((d)\) alors le vecteur de coordonnées \((0;4)\) aussi.
\((d)\) est une droite verticale. Ici \(a = 0\) et \(b = 1\) ; on ne peut donc pas appliquer les formules du cours.

Question 2

Soit \((d)\) : \( y = - 3x + 2\)  ,   \(\overrightarrow{n}\) un vecteur normal à \((d)\)  et  \(\overrightarrow{u}\) un vecteur directeur de \((d)\).

Alors :

\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Quelle est une équation cartésienne de \((d)\) ?


Quelles sont alors les coordonnées d'un vecteur normal à \((d)\) et d'un vecteur directeur de \((d)\) ?


Comment trouver à partir des coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{u}\) celles d'un autre vecteur directeur ?

\(y = -3x + 2 \Leftrightarrow 3x + y - 2 = 0\)


\(a = 3\) et \(b = 1 \)


Ainsi \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -1\\ 3 \end{pmatrix}\). En multipliant les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{u}\) par \(– 1\) ou encore \(-2\) on obtient comme autre vecteur directeur possible \(\overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}\) ou \(\overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix} 2\\ -6 \end{pmatrix}\)

Question 3

Soient trois points \(A(-2;2)\), \(B(3;3)\) et \(C(2;-1)\).

Alors :

Une équation de la droite \((AB)\) est : \(-5x + y - 12 = 0\)

Une équation de la droite \((AB)\) est : \(x – 5y + 12 = 0\)

La perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(C\) a pour équation : \(5x + y - 9 = 0\)

La perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(C\) a pour équation : \(- x - 5y - 7 = 0\)

\(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur directeur de la droite \((AB)\) et elle passe par le point \(A\) (ou le point \(B\)).


\(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur normal à toute perpendiculaire à la droite \((AB)\).

\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}\) donc \((AB)\) :\(: x - 5y + c = 0\). De plus \(A \in (AB)\) donc \((AB)\) :\(x – 5y + 12 = 0 \)


\(x + 2y = 5\) équivaut à \( y =-\frac{1}{2} x + \frac{5}{2}\)


\((d)\) a pour vecteur normal \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}\) et elle passe par \(C\) donc :
\( \begin{align*}M(x;y) \in (d) &\Leftrightarrow \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB}= 0\\ & \Leftrightarrow 5(x – 2) + (y +1) = 0\\ & \Leftrightarrow 5x + y - 9 = 0 \end{align*}\)

Question 4

Soient deux points \(A(2;3)\) et \(B(5;1)\).

Une équation de la médiatrice \((d)\) de \([AB]\) est :

\( -3x + 2y + \dfrac{13}{2} = 0\)

\( 2x – 3y - 1 =0\)

\( 6x - 4y – 13 = 0\)

\(y = \dfrac{3}{2}x - 3\)

La médiatrice d'un segment \([AB]\) est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. Faire une figure !


Les coordonnées du milieu de \([AB]\) sont \((\dfrac{x_A + x_B}{2};\dfrac{y_A + y_B}{2} )\)


Quel est un vecteur normal de la médiatrice de \([AB]\) ?


Quel point appartient à cette médiatrice ?

\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal de \((d)\).


Le milieu de \([AB]\) est \(I\|eft(\dfrac{7}{2};2\right)\) et \(I \in (d)\)


\( \begin{align*} (M(x;y)\in (d) &\Leftrightarrow \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} = 0\\ & \Leftrightarrow 3(x - 7/2) - 2 (y - 2) = 0\\ &\Leftrightarrow 3x - 2y - \frac{13}{2} = 0\\ & \Leftrightarrow - 3x + 2y + \frac{13}{2} = 0 \ (multiplication \ par \ - 1)\\ & \Leftrightarrow 6x - 4 y - 13 = 0 \ (multiplication \ par \ - 2) \end{align*}\)

Question 5

Soit \(ABO\) un triangle tels que \(A(-2;2)\) , \(B(-1;-2)\) et \(O\) l'origine du repère.

La hauteur \((d)\) du triangle \(ABC\) issue du point \(O\) a pour équation :

\(4x – y = 0\)

\(- x + 4 y = 0\)

\(y= \dfrac {1}{4}x\)

\(y=4x\)

Faire une figure !


La hauteur issue du point \(C\) est perpendiculaire au côté \([AB]\); en déduire un de ses vecteurs normaux.


Quel point appartient à cette hauteur ?


L'origine du repère \(O\) a pour coordonnées \((0;0)\).

\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal à la hauteur \((d)\) issue du point \(0\) et \(O(0;0) \in (d)\).


\( \begin{align*}M(x;y) \in (d) &\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB} = 0\\ &\Leftrightarrow x - 4y = 0\\ &\Leftrightarrow -x + 4y = 0\\ & \Leftrightarrow -x + 4y = 0\\ &\Leftrightarrow y=\frac{1}{4}x \end{align*}\)