Cours Produit scalaire, propriétés
Exercice d'application

Exercice : Vecteurs, produit scalaire

On considère un segment $[AB]$ tel que $AB = 4$ cm.

Déterminer et tracer l'ensemble $E$ des points $M$ du plan tels que $\vec{MA}.\vec{MB}= 12$. (On pourra faire intervenir la relation de Chasles avec le point $I$, milieu de $[AB]$.)

Soit $I$ le milieu de $[AB]$. On a donc $IA=2$.

On a : $\vec{MA}.\vec{MB}=(\vec{MI}+\vec{IA}).(\vec{MI}+\vec{IB})$

$\vec{MA}.\vec{MB}=(\vec{MI}+\vec{IA}).(\vec{MI}-\vec{IA}) $

$\vec{MA}.\vec{MB}= MI^2-IA^2$

$\vec{MA}.\vec{MB}=MI^2-4$

Ainsi, :

$M\in E \Leftrightarrow MI^2-4 = 12$

$\Leftrightarrow MI^2=16$

$\Leftrightarrow MI = 4$ ($MI$ est une distance donc positive)

On en déduit que $E$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $4$.