Cours L'incontournable du chapitre
Exercice d'application

Exercice : Produit scalaire

Cet exercice est composé de questions simples et indépendantes visant à tester vos connaissances sur le produit scalaire.

 

1) Déterminer l’ensemble des points $M(x ;y)$ du plan tels que $x^2+y^2+x-2y=0$.

2) Déterminer une équation du cercle de centre $\Omega (2 ;-3)$ et tangent à la droite d’équation $y=x+1$ .

3) Soit $[AB]$ un segment de longueur $4$.

Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $MA^2 + MB^2 =16$.

4) $ABCD$ est un parallélogramme tels que $AB=4 ; AD= 3$ et $AC =6$.

Calculer $ \vec{AB}.\vec{AD}$

 

1) $x^2+y^2+x-2y=0$

$x^2+x+y^2+x-2y=0$

$(x+ \dfrac{1}{2})^2- \dfrac{1}{4} +(y-1)^2-1=0$

$ \bigg(x+ \dfrac{1}{2} \bigg)^2 +(y-1)^2= \dfrac{5}{4} $

Donc $M$ appartient à un cercle de centre $O \bigg( -\dfrac{1}{2} ; 1 \bigg)$ et de rayon $R = \sqrt{\dfrac{5}{4} }$

 

2) Soit $C$ le cercle de centre $\Omega(2 ;-3)$ et de rayon $r$ a pour équation :

$ (x-2)^2 + (y+3)^2 = r^2$

Résolvons le système suivant :

$\begin{cases} (x-2)^2 + (y+3)^2 = r^2 \\  y=x+1   \end{cases}$

Remplaçons $y$ par $x+1$ dans la première équation :

$ (x-2)^2 + (x+4)^2 - r^2 = 0$

$x^2 -4x + 4 +x^2 +8x +16 –r^2 = 0$

$2x^2+4x+20 –r^2=0$

$\Delta = 16 – 8(20 – r^2)$

On sait qu’il n’y a qu’une seule solution puisque la droite tangente coupe le cercle $C$ en un seul point.

D’où $\Delta =0$

$16-8(20-r^2) = 0$

$r^2 =18$

Donc $C : (x-2)^2 + (y+3)^2 = 18$

 

3) Soit $I$ le milieu de $[AB]$.

D’après la relation de Chasles : $ \vec{MA} = \vec{MI} + \vec{IA}$

Donc :

$ MA^2 = (\vec{MI} + \vec{IA})^2 =  MI^2 + 2  \vec{MI} .\vec{IA} + IA^2$

De même : $ \vec{MB}^2 = (\vec{MI} + \vec{IB})^2 =  MI^2 + 2  \vec{MI} .\vec{IB} + IB^2$

Ainsi : $ MA^2+  MB^2 = 2 MI^2 + 2\vec{MI}. \vec{IA} + IA^2 + MI^2 + 2\vec{MI}. \vec{IB} + IB^2$

Soit : $ MA^2+  MB^2 = 2 MI^2 + 2\vec{MI}. (\vec{IA}  +\vec{IB} ) + IA^2  + IB^2$

 

On sait que $I$ est le milieu de $[AB]$ donc : $ \vec{IA}  +\vec{IB} = \vec{0}  $ et   $IA^2  = IB^2 = \dfrac{AB^2}{4}$

Finalement : $ MA^2+  MB^2 = 2 MI^2 + \dfrac{AB^2}{4}$

D’apres l’enoncé, $MA^2+  MB^2 = 16$ et $AB=4$ donc :

$2 MI^2 + \dfrac{AB^2}{4} = 16$

$2 MI^2  = 16 -\dfrac{4^2}{2} $

Et : $ MI^2=4$ 

Comme $MI$ est une longueur,

L’ensemble des points $M$ tels que $ MA^2+  MB^2 = 16$ est le même que l’ensemble des points $M$ tels que $MI = 2$. Il s’agit du cercle $I$ et de rayon $MI =2$.

 

4) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{2} \bigg[ (\lVert \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} \rVert)^2- \lVert \overrightarrow{AB} \rVert ^2 - \lVert \overrightarrow{AD} \rVert ^2 \bigg]$

$ABCD$ est un parallélogramme donc $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Ainsi :

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{2} \bigg[ 6^2 -4^2 -3^2 \bigg]$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = \dfrac{11}{2} $