Cours Lois de probabilités, espérance
Exercice d'application

Exercice : Loi de probabilité

On joue avec un dé truqué à six faces numérotées de $1$ à $6$.

On note les événements $A$ : "Il sort un chiffre pair" et $B$ : "Il sort un chiffre impair".

On sait que $P(A) = \dfrac{3}{4} \times P(B)$ avec équiprobabilité entre les numéros pairs et également équiprobabilité entre les numéros impairs.

On détermine que $X$ est la variable aléatoire égale au numéro sorti.

Question : Déterminer la loi de $X$.

$X$ peut valoir $1$, $3$ et $5$ pour les chiffres impairs, et $2$, $4$ ou $6$ pour les chiffres pairs.

Les faces portant des chiffres pairs ont la même probabilité de sortie, donc $P(X=2) = P(X=4) = P(X=6) = P(A)$.

Les faces portant un chiffre impair ont la même probabilité d'apparition, donc $P(X=1) = P(X=3) = P(X=5) = P(B)$.

On sait que $P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = 1$, et que $3P(A) + 3P(B) = 1$.

Par ailleurs, on a $P(A) = \dfrac{3}{4} \times P(B)$, ce qui veut dire que

$3\times \dfrac{3}{4} P(B) + 3 P(B) = 1$.

Soit  $ \dfrac{21}{4} P(B)=1$

On peut en déduire que $P(B) = \dfrac{4}{21}$ et que $P(A) = \dfrac{1}{7}$.

On peut donc dire que la probabilité de voir apparaître un chiffre pair est donc de $\dfrac{1}{7}$ et la probabilité de voir apparaître un chiffre impair est donc de $\dfrac{4}{21}$.

On obtient le tableau suivant :

$xi$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

$P(X=xi)$

 $\dfrac{4}{21}$ $\dfrac{1}{7}$ $\dfrac{4}{21}$ $\dfrac{1}{7}$ $\dfrac{4}{21}$ $\dfrac{1}{7}$