Cours Formules d'addition
QCM
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L'énoncé

Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.


Tu as obtenu le score de


Question 1

Sachant que \(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4} =\dfrac{\pi}{12}\) alors \(\cos(\frac{\pi}{12})\) est égal à :

\(\dfrac{1}{2}- \dfrac{\sqrt2}{2}\)

\( \dfrac{\sqrt2}{2}\)

\(\dfrac{\sqrt2}{4} -\dfrac{\sqrt6}{4}\)

\(\dfrac{\sqrt2}{4} +\dfrac{\sqrt6}{4}\)

Ici \(a=\frac{\pi}{3}\) et \(b=\frac{\pi}{4}\)


À quoi est égal \(cos(a - b)\) ?


\(\cos(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt2}{2} \)

\(\cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})\)


\(\cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4})+\sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{3})\)


\(\cos(\frac{\pi}{12})= \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt2}{2} +\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{\sqrt2}{2}\)


\(\cos(\frac{\pi}{12})= \frac{\sqrt2}{4} +\frac{\sqrt6}{4}\)

Question 2

Sachant que \(\cos(x) =\dfrac{2}{5}\) alors que vaut \(\cos(2x)\) ?

\(\dfrac{4}{5}\)

\(\dfrac{3}{5}\)

\(-\dfrac{21}{25}\)

\(-\dfrac{17}{25}\)

\(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\)

Attention pour le calcul de \(cos(2x) \) ON NE MULMTIPLIE PAS le \(cos(x)\) par \(2\).


\(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\) donc :
\(\cos(2x) = 2\times\frac{4}{25} - 1\)
\(\cos(2x) = \frac{8}{25} -\frac{25}{25} \)
\(\cos(2x) = -\frac{17}{25} \)

Question 3

Sachant que \(A(x) = \dfrac{1}{2}\times\cos(x) - \dfrac{\sqrt3}{2}\times\sin(x)\),  on peut dire que :

\( A(x)= \sin(\frac{\pi}{6}-x)\)

\( A(x)= \cos(\frac{\pi}{6}+x)\)

\( A(x)= \cos(\frac{\pi}{3}+x)\)

\( A(x)= \sin(\frac{\pi}{3}-x)\)

Les formules \(\cos(a + b)\) et \(\cos(a – b)\) changent les signes.


Un même résultat peut être donné par des énoncés différents :\( \frac{1}{2}= cos(\frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{6})\).


Tu peux "développer" les résultats donnés.

\(A(x) = \cos(\frac{\pi}{3})\cos(x) – \sin(\frac{\pi}{3})sin(x) = \cos(\frac{\pi}{3}+x)\)


\(A(x) = \sin(\frac{\pi}{6})\cos(x) – \cos(\frac{\pi}{6})sin(x) = \sin(\frac{\pi}{6}-x)\)

Question 4

\(\cos(\frac{5\pi}{4} -x)\) est égal à :

\( - \dfrac{\sqrt2}{2}\cos(x) - \dfrac{\sqrt2}{2}\sin(x)\)

\( - \dfrac{\sqrt2}{2}\cos(x) + \dfrac{\sqrt2}{2}\sin(x)\)

\( \dfrac{\sqrt2}{2}\cos(x) + \dfrac{\sqrt2}{2}\sin(x)\)

\( \dfrac{\sqrt2}{2}\cos(x) - \dfrac{\sqrt2}{2}\sin(x)\)

Développe \(\cos(\frac{5\pi}{4}– x)\) à l'aide de \(\cos(a – b)\).

\(\cos(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{4}) = - \frac{\sqrt2}{2}\)

Question 5

Soit \(A(x) = \cos(x) + \cos(x + \frac{\pi}{3}) + \cos(x + \frac{2\pi}{3})\).

Alors \(A(x) \) est égal à :

$0$

\(\cos(x)-\sqrt3\sin(x)\)

\(\cos(x)+\sqrt3\sin(x)\)

\(2\cos(x)\)

\(\cos(x +\frac{\pi}{3})\) et \(\cos(x + \frac{2\pi}{3})\) se développent à l'aide de \(cos(a + b)\)

\(\cos(x +\frac{\pi}{3})= \frac{1}{2}\cos(x) -\frac{\sqrt3}{2}\sin(x)\)


\(\cos(x +\frac{2\pi}{3})=- \frac{1}{2}\cos(x) -\frac{\sqrt3}{2}\sin(x)\)


Donc \(A(x) = \cos(x) + \frac{1}{2}\cos(x) -\frac{\sqrt3}{2}\sin(x) -\frac{1}{2}\cos(x) -\frac{\sqrt3}{2}\sin(x) = \cos(x)-\sqrt3\sin(x) \)