L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.
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Question 1
Sachant que \(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4} =\dfrac{\pi}{12}\) alors \(\cos(\frac{\pi}{12})\) est égal à :
\(\dfrac{1}{2}- \dfrac{\sqrt2}{2}\)
\( \dfrac{\sqrt2}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt2}{4} -\dfrac{\sqrt6}{4}\)
\(\dfrac{\sqrt2}{4} +\dfrac{\sqrt6}{4}\)
Ici \(a=\frac{\pi}{3}\) et \(b=\frac{\pi}{4}\)
À quoi est égal \(cos(a - b)\) ?
\(\cos(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt2}{2} \)
\(\cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})\)
\(\cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4})+\sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{3})\)
\(\cos(\frac{\pi}{12})= \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt2}{2} +\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{\sqrt2}{2}\)
\(\cos(\frac{\pi}{12})= \frac{\sqrt2}{4} +\frac{\sqrt6}{4}\)
Question 2
Sachant que \(\cos(x) =\dfrac{2}{5}\) alors que vaut \(\cos(2x)\) ?
\(\dfrac{4}{5}\)
\(\dfrac{3}{5}\)
\(-\dfrac{21}{25}\)
\(-\dfrac{17}{25}\)
\(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\)
Attention pour le calcul de \(cos(2x) \) ON NE MULMTIPLIE PAS le \(cos(x)\) par \(2\).
\(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\) donc :
\(\cos(2x) = 2\times\frac{4}{25} - 1\)
\(\cos(2x) = \frac{8}{25} -\frac{25}{25} \)
\(\cos(2x) = -\frac{17}{25} \)
Question 3
Sachant que \(A(x) = \dfrac{1}{2}\times\cos(x) - \dfrac{\sqrt3}{2}\times\sin(x)\), on peut dire que :
\( A(x)= \sin(\frac{\pi}{6}-x)\)
\( A(x)= \cos(\frac{\pi}{6}+x)\)
\( A(x)= \cos(\frac{\pi}{3}+x)\)
\( A(x)= \sin(\frac{\pi}{3}-x)\)
Les formules \(\cos(a + b)\) et \(\cos(a – b)\) changent les signes.
Un même résultat peut être donné par des énoncés différents :\( \frac{1}{2}= cos(\frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{6})\).
Tu peux "développer" les résultats donnés.
\(A(x) = \cos(\frac{\pi}{3})\cos(x) – \sin(\frac{\pi}{3})sin(x) = \cos(\frac{\pi}{3}+x)\)
\(A(x) = \sin(\frac{\pi}{6})\cos(x) – \cos(\frac{\pi}{6})sin(x) = \sin(\frac{\pi}{6}-x)\)
Question 4
\(\cos(\frac{5\pi}{4} -x)\) est égal à :
\( - \dfrac{\sqrt2}{2}\cos(x) - \dfrac{\sqrt2}{2}\sin(x)\)
\( - \dfrac{\sqrt2}{2}\cos(x) + \dfrac{\sqrt2}{2}\sin(x)\)
\( \dfrac{\sqrt2}{2}\cos(x) + \dfrac{\sqrt2}{2}\sin(x)\)
\( \dfrac{\sqrt2}{2}\cos(x) - \dfrac{\sqrt2}{2}\sin(x)\)
Développe \(\cos(\frac{5\pi}{4}– x)\) à l'aide de \(\cos(a – b)\).
\(\cos(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{4}) = - \frac{\sqrt2}{2}\)
Question 5
Soit \(A(x) = \cos(x) + \cos(x + \frac{\pi}{3}) + \cos(x + \frac{2\pi}{3})\).
Alors \(A(x) \) est égal à :
$0$
\(\cos(x)-\sqrt3\sin(x)\)
\(\cos(x)+\sqrt3\sin(x)\)
\(2\cos(x)\)
\(\cos(x +\frac{\pi}{3})\) et \(\cos(x + \frac{2\pi}{3})\) se développent à l'aide de \(cos(a + b)\)
\(\cos(x +\frac{\pi}{3})= \frac{1}{2}\cos(x) -\frac{\sqrt3}{2}\sin(x)\)
\(\cos(x +\frac{2\pi}{3})=- \frac{1}{2}\cos(x) -\frac{\sqrt3}{2}\sin(x)\)
Donc \(A(x) = \cos(x) + \frac{1}{2}\cos(x) -\frac{\sqrt3}{2}\sin(x) -\frac{1}{2}\cos(x) -\frac{\sqrt3}{2}\sin(x) = \cos(x)-\sqrt3\sin(x) \)