Cours Formules d'addition

Exercice - Valeurs remarquables, simplifications et équations

L'énoncé

On considère l'expression \(A(x)\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\(A(x) = \cos(x – \frac{3\pi}{4}) + sin(x + \frac{\pi}{4}) \)


Question 1

Calculer \(A(0)\).

\(A(0) = \cos(-\frac{3\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{4})\)

\(A(0) = -\dfrac{\sqrt2}{2} +\dfrac{\sqrt2}{2}\)

\(A(0) = 0\)

Remplace \(x\) par \(0\) .

Question 2

Simplifier l'expression \(A(x)\).

\(A(x) = \cos(x -\frac{3\pi}{4} ) + \sin(x +\frac{\pi}{4} ) \)

\( A(x) = \cos(x)\cos(\frac{3\pi}{4}) + \sin(x)\sin(\frac{3\pi}{4}) + \sin(x)\cos(\frac{\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{4})\cos(x)\)

\( A(x) = -\dfrac{\sqrt2}{2}\times \cos(x) + \dfrac{\sqrt2}{2}\times\sin(x) + \dfrac{\sqrt2}{2}\times\sin(x) + \dfrac{\sqrt2}{2}\times\cos(x)\)

\( A(x) = \sqrt2\sin(x)\)

\(\cos(x –\frac{3\pi}{4} ) = \cos(a - b)\)


\(\sin(x +\frac{\pi}{4} ) = \sin(a + b)\)

Question 3

Calculer \( A(-\frac{\pi}{2})\)

\(A(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{5\pi}{4}) + \sin(-\frac{\pi}{4}) \)

\(A(-\frac{\pi}{2}) = -\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\)

\(A(-\frac{\pi}{2})= -\sqrt2\)

Remplace \(x\) par \(-\frac{\pi}{2}\)

Question 4

Résoudre sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]\) l'équation \(A(x) = 0\).

\(A(x) = 0 \Leftrightarrow \sin(x) = 0 \)

\(\Leftrightarrow x = 0 +2k\pi\)  ou   \(x =\pi+2k\pi, k\in\mathbb{z}\)

Sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]\) on obtient pour ensemble des solutions \(S = \{\pi\}\)

Utilise l'expression de \(A(x)\) obtenue à la question 3.


Ensuite il s'agit d'une équation trigonométrique classique à résoudre sur \([\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\)

Question 5

Résoudre sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]\) l'équation \(A(x) = - \)1.

On sait que : \(A(x) = \sqrt2\sin(x)\)

Ainsi : \(A(x) = -1 \)

\(\Leftrightarrow \sin(x) = - \dfrac{\sqrt2}{2} \)

\( \Leftrightarrow \sin(x) = \sin(- \frac{\pi}{4})\)

\( A(x) = -1 \)
\(\Leftrightarrow x =- \dfrac{\pi}{4} +2k\pi \)  ou  \( x = \pi + \dfrac{\pi}{4}+2k\pi,  k \in\mathbb{Z} \)
\( \Leftrightarrow x =- \dfrac{\pi}{4}+2k\pi \)  ou  \( x = \dfrac{5\pi}{4}+2k\pi,  k \in\mathbb{Z}\)

L'ensemble des solutions sur\(\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]\) est :

\(S =\left\{\dfrac{5\pi}{4} \right\}\)

Utilise l'expression de \(A(x)\) obtenue à la question 3.


\(\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\)


Résous l'équation sur \(\mathbb{R}\) puis sur \([\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\) (pour cela aide-toi du cercle trigonométrique).

Question 6

Résoudre sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]\) l'équation \(A(x) = - \sqrt2\cos(x)\).

On sait que : \(A(x) = \sqrt2\sin(x)\)

\(A(x) = -\sqrt2\cos(x) \Leftrightarrow \sqrt2\cos(x) + \sqrt2\sin(x)= 0\)

\( \Leftrightarrow 2\left[\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\cos(x)\right) + \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\sin(x)\right)\right] = 0 \)

\( \Leftrightarrow \cos(\frac{\pi}{4})\cos(x) + \sin(\frac{\pi}{4})\sin(x)= 0 \)

\( \Leftrightarrow \cos(x -\frac{\pi}{4} ) = 0 \)

\( \Leftrightarrow \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) \)

\( \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} [2\pi] \)  ou  \( x -\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{2} [2\pi] \)

\( \Leftrightarrow x = \dfrac{3\pi}{4} [2\pi] \)  ou  \( x = - \dfrac{\pi}{4}[2\pi]\)

L'ensemble des solutions sur  \(\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]\) est :

\(S =\left\{ \dfrac{3\pi}{4}\right\}\)

Cette équation équivaut à \(\sqrt2\cos(x) + \sqrt2\sin(x) = 0\)


Ramène toi ensuite à une équation du type \(\cos(a + b) = 0\)


Utilise alors les résultats des équations trigonométriques classiques.


\(\cos(\frac{\pi}{2})=0\)