Cours Résolution d'équations trigonométriques
Exercice d'application

Exercice :

Résoudre dans l'ensemble des réels :

$\cos(3x+\frac{\pi}{4}) = \cos(x+\frac{\pi}{3})$

$\cos(3x+\dfrac{\pi}{4}) = \cos(x+\dfrac{\pi}{3})$$\Longleftrightarrow$Ou $\begin{cases}3x+\dfrac{\pi}{4}=x+\dfrac{\pi}{3}+2k\pi, k\in \mathbb{Z} \\ 3x+\dfrac{\pi}{4}=-(x+\dfrac{\pi}{3})+2k\pi, k\in \mathbb{Z} \end{cases}$

$\Longleftrightarrow$ Ou $\begin{cases}2x=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k\in \mathbb{Z} \\ 4x=-\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k\in \mathbb{Z} \end{cases}$

$\Longleftrightarrow$ Ou $\begin{cases}2x=\dfrac{\pi}{12}+2k\pi, k\in \mathbb{Z} \\ 4x=-\dfrac{7\pi}{12}+2k\pi, k\in \mathbb{Z} \end{cases}$

$\Longleftrightarrow$ Ou $\begin{cases}x=\dfrac{\pi}{24}+k\pi, k\in \mathbb{Z} \\ x=-\dfrac{7\pi}{48}+\dfrac{k\pi}{2}, k\in \mathbb{Z} \end{cases}$

L'ensemble des solutions est donc : 

$S=\left\{\dfrac{\pi}{24}+k\pi; -\dfrac{7\pi}{48}+\dfrac{k\pi}{2}\right\}, k\in \mathbb{Z}$