Cours Vecteurs directeurs d'une droite et équation cartésienne
Exercice d'application

Exercice : Vecteurs – Equations cartésiennes de droites

1) Soit l’équation cartésienne suivante : $2x – y + c = 0$ (avec $c$ quelconque).

Laquelle ou lesquelles de ces droites correspondent à cette équation ?

 

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2) Soit la droite $d$ d’équation cartésienne $8x – 11y + 3 = 0$.

Citez les bonnes réponses et justifiez :

a) Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}(−5,5; −4)$.

b) Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{v}(−11; 8)$.

c) L’équation réduite de la droite est $y = 8x + \dfrac{3}{11}$.

d) Le point $A(0 ;4)$ appartient à $d$.

 

3) Soit la droite $d_1$ d’équation $4x+3y–5=0$ et la droite $d_2$ d’équation $y=6$.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez.

a) La droite $d_2$ est parallèle à l’axe des abscisses.

b) Les droites $d_1$ et $d_2$ se coupent en $A\left(\dfrac{-13}{4}; 6\right)$.

c) La droite $d_1$ a comme vecteur directeur $\vec{u} (−9; 12)$. 

 

1) Les droites $b$ et $c$ correspondent à l’équation cartésienne donnée : la droite $b$ pour $c =2$, la droite $c$ pour $c = 0$.

 

2) Soit la droite $d$ d’équation cartésienne $8x – 11y + 3 = 0$.

a) Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}(−5,5; −4)$.

Vrai, car c’est un vecteur colinéaire du vecteur $\vec{w}(11; 8)$ obtenu avec le théorème du cours selon lequel le vecteur directeur d’une droite définie par $ax + by + c = 0$ est $(–b ;a)$.

 

b) Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{v}(−11; 8)$.

Faux : ce n’est pas un vecteur colinéaire de $\vec{w}(11; 8)$.

 

c) L’équation réduite de la droite est $y =8x +\dfrac{3}{11}$.

Faux : l’équation réduite de la droite est $y=\dfrac{8}{11}x+\dfrac{3}{11}$.

 

d) Le point $A(0 ;4)$ appartient à $d$.

Faux : remplaçons $x$ et $y$ par 0 et 4 :

$8×0−11×4+3=−44+3=−41 \neq 0$

Ainsi, $A(0;4)$ n’appartient pas à $d$.

 

3) Soit la droite $d_1$ d’équation $4x+3y–5=0$ et la droite $d_2$ d’équation $y=6$ :

a) La droite $d_2$ est parallèle à l’axe des abscisses.

Vrai. C'est une question de cours. Son coefficient directeur est nul.

 

b) Les droites $d_1$ et $d_2$ se coupent en $A\left(\dfrac{-13}{4}; 6\right)$.

Vrai, on résout le système d’équations suivant :

$\begin{equation*}\left\{\begin{aligned}y&=6& \\4x+3\,y-5&=0& \\\end{aligned} \right.\end{equation*}$

$\begin{equation*}\left\{\begin{aligned}y&=6& \\4x+3\times 6-5\,&=0& \\\end{aligned} \right.\end{equation*}$

$\begin{equation*}\left\{\begin{aligned}y&=6& \\4x+13\,&=0& \\\end{aligned} \right.\end{equation*}$

$\begin{equation*}\left\{\begin{aligned}y&=6& \\x\,&=\dfrac{-13}{4}& \\\end{aligned} \right.\end{equation*}$

 

c) La droite $d_1$ a comme vecteur directeur $\vec{u}(−9; 12)$.

Vrai, c’est un vecteur colinéaire de $\vec{v}(−3; 4)$.