Cours L'incontournable du chapitre
Exercice d'application

Exercice : Vecteurs, points alignés

 

Dans un repère on donne $A (-2;1), B (3;3), C(-5;3), D(5;1)$ et $T(0;-1)$

On nomme $K$ le point de coordonnées $(-1;y_K)$

 

1) Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont-elles parallèles ?

2) Les points $C, D$ et $T$ sont-il alignés ?

3) Calculer le réel $y_K$ tel que $C, K$ et $A$ soient alignés.

4) Calculer les coordonnées du point $M(x;y)$ tel que $2\vec{MA} +3\vec{MB} = \vec{0}$

5) Calculer les coordonnées du point $E$ symétrique de $T$ par rapport au point $C$.

1) On a $\vec{AC} \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{BD} \begin{pmatrix} 2 \\-2 \end{pmatrix}$. 

Calculons le déterminant de ces deux vecteurs :

$(-3) \times (-2) - (2) \times 2 \ne 0$

Ainsi, ces vecteurs ne sont pas colinéaires et les droites $(AC)$ et $(BD)$ ne sont pas parallèles.

 

2) On a $\vec{DT} \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{DC} \begin{pmatrix} -10 \\ 2 \end{pmatrix}$

Calculons le déterminant de ces deux vecteurs :

$(-5) \times (2) - (-2) \times (-10) \ne 0$

Ainsi, ces vecteurs ne sont pas colinéaires et les points $D, T$ et $C$ ne sont pas alignés.

 

3) On a $\vec{AC} \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{AK} \begin{pmatrix} 1 \\ y_K-1 \end{pmatrix}$

On aura $A, K$ et $C$ alignés si et seulement si $\vec{AC}$ et $\vec{AK}$ sont colinéaires.

C'est-à-dire si et seulement si $-3(y_K-1)-2 \times 1 = 0$

On résout cette équation : $-3y_K + 3 -2 = 0 \iff -3y_K = -1$

Donc $ y_K = \dfrac{1}{3}$

 

4) Soit $M(x;y)$. On a :$\vec{MA} \begin{pmatrix} -2-x \\1-y \end{pmatrix}$ et $\vec{MB} \begin{pmatrix} 3-x \\ 3-y \end{pmatrix}$

On aura $2 \vec{MA} + 3 \vec{MB} = \vec{0}$ si et seulement si les coordonnées du vecteur somme sont nulles. Or ce vecteur a pour coordonnées :

$2 \vec{MA} + 3 \vec{MB} \begin{pmatrix} -4-2x + 9 - 3x = 5-5x \\ 2-2y +9-3y = 11 -5y \end{pmatrix}$

D'où le système $\left \{ \begin{array}{ll} {5 - 5x = 0 \\ 11-5y = 0}  \end{array} \right.$

Par suite on a donc $M \left( {1;\dfrac{11}{5}} \right)$

 

5) $E$ sera symétrique de $T$ par rapport à $C$ si et seulement si $C$ est le milieu de $[ET]$

D'où les coordonnées de :  $E(-10;7)$